19、均匀随机数生成与密钥协商技术解析

均匀随机数生成与密钥协商技术解析

1. 均匀随机数生成

在这部分，我们探讨如何从非均匀随机源构建均匀随机数生成器。对于给定函数 (A : X^n \to ImA^n)，生成器 (\phi_n) 定义为 (\phi_n(x) \equiv Ax)，其中 (x \in X^n)。令 (M_n \equiv ImA^n)，生成速率 (R) 由下式给出：
[R = \frac{\log |ImA^n|}{n}]

假设在编码构建之前已知随机变量 (X^n \in X^n) 的（非均匀）概率分布 (\mu_{X^n})。有如下定理表明，使用稀疏矩阵的生成器可以达到基本极限 (H(X))。

定理 3.1 ：设 (X) 为一般源。对于由上述公式定义的给定 (R)，且 (R < H(X))，假设 ({(A^n, p_{A,n})} {n=1}^{\infty}) 具有平衡着色性质。那么对于所有 (\delta > 0) 和所有足够大的 (n)，存在函数（稀疏矩阵） (A \in A^n) 满足 (d(\mu {M_n}, p_{M_n}) \leq \delta)。

2. 独立随机数生成

这里我们要从两个相关源之一构建均匀随机数生成器，且生成的随机数与另一个源独立。同样，对于给定函数 (A : X^n \to ImA^n)，生成器 (\phi_n) 定义为 (\phi_n(x) \equiv Ax)，生成速率 (R) 为：
[R = \frac{\log |ImA^n|}{n}]

假设在构建代码之前已知 ((X^n, Z^n)) 的概率分布。有定理表明，使