18、均匀随机数生成与秘密相关问题探讨

均匀随机数生成与秘密相关问题探讨

1. 均匀性与独立性的度量

1.1 概率分布差异度量

在信息论安全的研究中，均匀性和独立性是两个重要的概念。对于两个概率分布 (p) 和 (q) 在集合 (M) 上，我们引入两种度量它们差异的方式：
- 变分距离：(d(p, q) \equiv \sum_{m\in M} |p(m) - q(m)|/2)
- 散度：(D(p\parallel q) \equiv \sum_{m\in M} p(m) \log(p(m)/q(m)))

1.2 均匀性的度量

设 (p_M) 是集合 (M) 上的均匀分布，随机变量的均匀性可以用 (d(\mu_M, p_M)) 或 (D(\mu_M\parallel p_M) = \log |M| - H(M)) 来度量。根据不等式 (d(p, q) \leq\sqrt{2 \ln(2)}D(p\parallel q))，如果 (\mu_M) 相对于散度接近均匀分布，那么它相对于变分距离也接近均匀分布。

对于一般源 (M)，我们引入三种渐近均匀性的度量：
- 强均匀性（变分距离）：若 (\lim_{n\rightarrow\infty}d(\mu_{M_n}, p_{M_n}) = 0)，则称 (M) 相对于变分距离是强均匀的。
- 强均匀性（散度）：若 (\lim_{n\rightarrow\infty}D(\mu_{M_n}\parallel p_{M_n}) = 0)，即 (\lim_{n\rightarrow\infty} [\log |M_n| - H(M_n)] = 0)，则称 (M) 相对于散度是强均匀的。