37、量子纠缠与安全随机数生成的深入探讨

量子纠缠与安全随机数生成的深入探讨

1. 纠缠形成超可加性的违背

1.1 反例构建

为了给出纠缠形成超可加性的反例，我们考虑一个大的二分系统 (C^k \otimes C^n = C^{nk})，其中系统 (H_{A,1}) 为 (C^k)，系统 (H_{B,1}) 为 (C^n)。接着，我们关注一个 (\lceil cn \rceil) 维子空间 (K) 及其复共轭子空间 (\overline{K})，定义为 (\overline{K} := {x \in C^{nk}| \overline{x} \in K})。

对于二分系统 (H_A \otimes H_B)（其中 (H_A := H_{A,1} \otimes H_{A,2})，(H_B := H_{B,1} \otimes H_{B,2})），有如下引理：

引理 8.16 ：任何 (\lceil cn \rceil) 维子空间 (K) 满足
(\min_{|\psi\rangle \in K \otimes \overline{K}} E(|\psi\rangle\langle\psi|) \leq 2 \left(1 - \frac{c}{k}\right) \log k + h \left(\frac{c}{k}\right))

在证明过程中，设 (V) 是从 (H_{C,1} := C^{\lceil cn \rceil}) 到 (H_{A,1} \otimes H_{B,1}) 的等距映射，其像为子空间 (K)，(\overline{V}) 是从 (H_{C,2} := C^{\lceil cn \rceil}) 到 (