14、非对称量子拉比模型中的谱简并与群 - 子群对图的谱研究

非对称量子拉比模型中的谱简并与群 - 子群对图的谱研究

1. 非对称量子拉比模型中的组合研究

1.1 约束多项式与连分数

在研究非对称量子拉比模型时，约束多项式的研究是一个重要方面。从定义的递推关系可以直接得到约束多项式的公式。由于约束多项式源于三对角矩阵的连子式研究，所以研究相关的连分数是很自然的。

对于固定的 $\ell \in N$，有：
$\frac{\tilde{P} {k}^{(\ell,\ell/2)}(x,y)}{\tilde{P} {k - 1}^{(\ell,\ell/2)}(x,y)} = b_k + \frac{a_k}{b_{k - 1} + \frac{a_{k - 1}}{b_{k - 2} + \frac{a_{k - 2}}{\cdots + \frac{a_2}{b_1}}}}$
其中，$a_k = -k(k - 1)(\ell - k + 1)x$，$b_k = kx + y + k(\ell - k)$。

当猜想 2.2 中 $N = 0$ 时，多项式 $A_{\ell}^0(x,y)$ 就是 $\tilde{P} {\ell}^{(\ell,\ell/2)}(x,y)$。上述等式左边是连分数的第 $k$ 个收敛项。根据欧拉 - 明定公式，连分数第 $k$ 个收敛项的分子和分母可以表示为关于 ${a_i, b_i}$（$i \in {0, 1, \cdots, k}$）的多项式。特别地，对于第 $\ell$ 个收敛项的分子，有：
$A {\ell}^0(x,y) = \tilde{P} {\ell}^{(\ell,\ell/2)}(x