28、具有固定 k 误差线性复杂度的 2n 周期二进制序列研究

具有固定 k 误差线性复杂度的 2n 周期二进制序列研究

1. 引言

在二进制序列的研究中，线性复杂度是一个重要的指标。本文聚焦于 2n 周期二进制序列，深入探讨其固定 k 误差线性复杂度的相关特性。此前，Fu 等人运用代数和组合方法对 2n 周期二进制序列的 1 误差线性复杂度进行了刻画。我们在此基础上进行拓展，研究当 wH(2n - L) ≠ 2 时，2n 周期二进制序列的 2 误差和 3 误差线性复杂度 L 的特性，并给出相应的计数函数。

2. 基本概念与引理

• 2n 周期二进制序列的线性复杂度 ：设 N(L) 表示具有给定线性复杂度 L（0 ≤ L ≤ 2n）的 2n 周期二进制序列的数量，A(L) 表示这些序列的集合。有 N(0) = 1，对于 1 ≤ L ≤ 2n，N(L) = 2L - 1。A(0) = {(0, 0, · · ·)}，对于 1 ≤ L ≤ 2n，A(L) 中的序列 S 对应的多项式为 S(x) = (1 - x)2n - La(x)，其中 a(x) 是一个二进制多项式，deg(a(x)) ≤ L - 1 且 a(1) ≠ 0。
• Hamming 距离 ：对于任意两个 2n 周期序列 S1 和 S2，dH(S1, S2) 表示它们的元组 S(2n)1 和 S(2n)2 之间的 Hamming 距离。
• 相关引理
  • 引理 3 ：对于任何 2n 周期序列 S，L(S) = 2n 当且仅当 wH(S) 为奇数。