27、XL 方法生成的线性独立方程数量及 2n 周期二进制序列复杂度研究

XL 方法生成的线性独立方程数量及 2n 周期二进制序列复杂度研究

1. XL 方法中线性独立方程的数量

在使用 XL 方法时，我们可以通过一系列步骤来估计所生成的线性独立方程的数量。
- 构建集合 (U_D) ：将每个多项式 (f_i) 与所有次数小于等于 (D_m) 的单项式（包括单项式 1，这样可以保留原始多项式）相乘，从而形成集合 (U_D)。
- 构建矩阵 (H_0) ：矩阵 (H_0) 的行是 (U_D) 中所有多项式的系数向量，其列由所有次数小于等于 (D_m + D_e) 的单项式索引。为避免后续泛化时产生混淆，(H_0) 的行由 (m \cdot r(f_i)) 索引，而不是 (m[f_i])。若 (m’) 是 (m \cdot f_i) 中的一项，则元素 ((m \cdot r(f_i), m’)) 为 1，否则为 0。
- 递归构建矩阵 (H_i)（(i \geq 1)） ：
- (H_i) 的行由 (m \cdot r(f_{i_1}^{e_1} f_{i_2}^{e_2} \cdots f_{i_s}^{e_s})) 索引，其中 (\sum_{j = 1}^{s} e_j = i + 1)，且 (m) 是次数小于等于 (D_m - i \cdot D_e) 的单项式。
- (H_i) 的列与 (H_{i - 1}) 的行具有相同的索引。由于 (m) 的次数需要非负，所以我们构建的最后一个 (H_i) 对应的 (i = \lfloor \frac{D_m}{D_e} \rfloor)。
- 当对于多项式 (g = m_1 +