27、基于模型的决策树与形状量化分类方法解析

基于模型的决策树与形状量化分类方法解析

在分类器设计领域，基于模型的决策树和形状量化相关方法有着重要的应用。下面将详细介绍这些方法的原理、实现过程以及相关案例分析。

1. 基于模型的决策树基础

在构建决策树时，设 (T_k) 为第 (k) 个子树，({M|X_t = k}) 是固定 (X_t = k) 后的模型。当 (X_t) 被选为根节点时，就只需考虑 (N - 1) 个测试。要找到 (C^*(M, D))，即所有最大深度为 (D) 的树中 (C(T, M)) 的最小值，需要接近 (O(N!)) 的计算量，所以仅适用于测试数量少且深度小的情况。

对于 (D > 0)，有如下公式：
[C^ (M, D) = \min\left{\frac{H(p_0)}{\lambda} + \min_{t\in X}\sum_{k\in{0,1}}P(X_t = k)C^ ({M|X_t = k}, D - 1)\right}]
显然，(C^*(M, 0) = H(p_0))。一般情况下，找到这样的最小值并不实际，除非引入一些假设。

2. 贪心算法处理稀有类问题

在二分类问题 (Y = {a, b}) 中，假设类 (a) 是“稀有”类，类 (b) 是“常见”类，先验概率 (p_0(a) \approx 10^{-1})，(p_0(b) = 1 - p_0(a))。有两个测试 (X_1) 和 (X_2)：
- (X_1)：当真实类为稀有类 (a) 时，(X_1 = 1) 总是成立；当真实类为常见类 (b) 时，(X_1 = 1) 随机成立，即 (P(X_1 = 1|Y = a) = 1)，(P(X_1 = 1|Y = b) = 0.5)。该测试不会产生假阴性，但假阳性率为 (0.5)。
- (X_2)：有三个版本 (X_2’)、(X_2’‘) 和 (X_2’‘’)。当真实类为稀有类 (a) 时，(X_2 = 1) 随机成立；当真实类为常见类 (b) 时，(X_2 = 1) 从不成立，即 (P(X_2 = 1|Y = a) = 0.5)，(P(X_2 = 1|Y = b) = 0)。

初始熵 (H(Y)) 的计算如下：
[H(Y) = -P(Y = a)\log_2 P(Y = a) - P(Y = b)\log_2 P(Y = b) = - \frac{5}{10^4}\log_2\left(\frac{5}{10^4}\right) - \frac{9995}{10^4}\log_2\left(\frac{9995}{10^4}\right) = 0.0007]

在选择根节点的测试时，计算条件熵：
- (H(Y|X_1))：
[H(Y|X_1) = P(X_1 = 0)H(Y|X_1 = 0) + P(X_1 = 1)H(Y|X_1 = 1) = \frac{5000 + 5}{10^4}\left(-\frac{5}{5005}\log_2\left(\frac{5}{5005}\right) - \frac{5000}{5005}\log_2\left(\frac{5000}{5005}\right)\right) = 0.0007 = H(Y)]
- (H(Y|X_2’))：
[H(Y|X_2’) = P(X_2’ = 0)H(Y|X_2’ = 0) + P(X_2’ = 1)H(Y|X_2’ = 1) = \frac{9995 + 2}{10^4}\left(-\frac{2}{9997}\log_2\left(\frac{2}{9997}\right) - \frac{9995}{9997}\log_2\left(\frac{9995}{9997}\right)\right) = 0.0003 \approx H(Y)]
- (H(Y|X_2’‘)) 和 (H(Y|X_2’‘’)) 计算结果分别为 (0.0004)。

由于所有版本的 (X_2) 测试的 (H(Y|X_2)) 总是低于 (H(Y|X_1))，在经典局部方法中，(X_2’) 会被选为根节点测试。之后对根节点的子节点进行进一步分析，重新评估 (X_1) 和其他版本的 (X_2) 测试的条件熵，发现 (X_1) 多次被舍弃。

最终得到的贪心树 (T_{local} = (X_2’, X_2’‘, X_2’‘’))，当真实类 (Y = b) 时，误分类率为 (0)；当测试未在训练中出现的 (a) 类样本时，误分类错误率为 (12.5\%)。树的平均深度 (E_d(T_{local})) 计算如下：
- 四个叶子节点的概率：
- (P(Q_3) = P(X_2’ = 1) = 3\times 10^{-4})
- (P(Q_5) = P(X_2’ = 0, X_2’’ = 1) = 10^{-4})
- (P(Q_6) = P(X_2’ = 0, X_2’’ = 0, X_2’‘’ = 0) = 9995\times 10^{-4})
- (P(Q_7) = P(X_2’ = 0, X_2’’ = 0, X_2’‘’ = 1) = 10^{-4})
- 平均深度：
[E_d(T_{local}) = \sum_{l\in\partial T_{local}}P(Q_l)d(l) = 3\times 10^{-4} \times 1 + 10^{-4} \times 2 + 9995\times 10^{-4} \times 3 + 10^{-4} \times 3 = 2.9993]

树的成本 (C(T_{local}, M) = \lambda E_d(T_{local}))，若 (\lambda = 10^{-4})，则成本为 (0.0003)。

3. 全局优化处理稀有类问题

为了进行全局优化，假设存在大致两类测试 (X = {X_1, X_2})，有相似的概率分布，如 (X_1 = {X_1’, X_1’‘, X_1’‘’}) 和 (X_2 = {X_2’, X_2’‘, X_2’‘’})。对于 (10^4) 个数据的测试结果，各类型过滤器的概率如下：
- (P(X_1 = 0) = 4995\times 10^{-4} = 0.4995)
- (P(X_1 = 1) = 5005\times 10^{-4} = 0.5005)
- (P(X_2 = 0) = 9997\times 10^{-4} = 0.9997)
- (P(X_2 = 1) = 3\times 10^{-4} = 0.0003)

要计算 (C^ (M, D))（如 (D = 3)），需要逐步计算 (C^ (M_1, D - 1))、(C^ (M_2, D - 2)) 和 (C^ (M_3, D - 3) = C^*(M_3, 0))，其中：
- (M_1 = {p(\cdot|X_t = k), 1\leq t\leq N, k\in{0, 1}})
- (M_2 = {p(\cdot|X_t = k, X_r = l), 1\leq t, r\leq N, k, l\in{0, 1}})
- (M_3 = {p(\cdot|X_t = k, X_r = l, X_s = m), 1\leq t, r, s\leq N, k, l, m\in{0, 1}})

假设测试之间条件独立，可通过一系列函数 (\Psi_d : M_d \to {1 \cdots N}) 选择每一层的最佳测试。在实际计算中，算法需要计算 (\sum_{d = 0}^{D}|M_d|) 个后验概率。若不考虑测试执行顺序，复杂度可降低。

通过自底向上的动态规划方法，可得到最小成本的树。例如，可能得到 (T_{global2} = (X_2’, X_2’‘, X_1’))，其四个叶子节点的概率为：
- (P(Q_3) = P(X_2’ = 1) = 3\times 10^{-4})
- (P(Q_5) = P(X_2’ = 0, X_2’’ = 1) = 10^{-4})
- (P(Q_6) = P(X_2’ = 0, X_2’’ = 0, X_1’ = 0) = 4995\times 10^{-4})
- (P(Q_7) = P(X_2’ = 0, X_2’’ = 0, X_1’ = 1) = 5001\times 10^{-4})

平均深度 (E_d(T_{global2})) 为：
[E_d(T_{global2}) = \sum_{l\in\partial T_{global2}}P(Q_l)d(l) = 3\times 10^{-4} \times 1 + 10^{-4} \times 2 + 4995\times 10^{-4} \times 3 + 5001\times 10^{-4} \times 3 = 2.9993]

(H(Y|T_{global2}) = 0.0003)，全局成本 (C(T_{global2}, M) = H(Y|T_{global2}) + \lambda E_d(T_{global2}) = 0.0003 + 0.0001\times 2.9993 = 0.0005999 > C^*(M, D) = 0.0003)，这表明 (T_{global2}) 是次优选择，但在更深的树中，全局方法通常能提高局部方法的误分类率，并生成更平衡的树。

4. 形状量化与多随机树

4.1 简单标签及其排列

经典决策树适用于向量数据分类。在对图像（如字符位图）进行分类时，可提取显著特征并减少特征数量。也可构建基于小窗口测试的决策树，测试 (X_t) 根据窗口是否对应特殊配置（标签）输出 (0) 或 (1)。

以 (7\times 7) 的二进制位图表示的 (4) 个简单算术符号（(+)、(-)、(\div)、(\times)）为例，保留 (16) 个 (2\times 2) 标签（去除最不具信息性的标签 (0)）。为了提高不变性和判别能力，可将测试与标签之间的“二进制”空间关系相关联，如“北”“南”“西”“东”关系。例如，(X_{5↑13}) 测试标签 (5) 是否在标签 (13) 的北面。

分析前四个初始位图，可提取 (38) 个规范二进制关系。初始熵 (H(Y) = -4\times\frac{1}{4}\log_2\frac{1}{4} = 2)，因为有四个类且每个类有四个样本。

4.2 简单树的算法

给定规范二进制关系集合 (B)（二进制排列），构建与训练集一致的决策树的基本过程是找到使条件熵最小的关系。例如，(X_{3↑8}) 是最佳局部选择，它能区分两个超类 ((-, \times)) 和 ((+, \div))，相对熵 (H(Y|X_{3↑8}) = 1.0)。

树的左分支遵循找到几乎被一个样本满足且能最大程度降低条件熵的二进制排列规则，代码前缀为 (00 \cdots)；右分支在满足一个二进制排列后，通过添加最小扩展（新标签关系或新标签与现有标签的关系）来完成，如第一个待处理排列 (X_{5 + 5→3}) 使 (H(Y|X_{3↑8} = 1, X_{5→3}) = 0.2028)，后续 (X_{4 + 4→5}) 使条件熵为 (0.0)。

平均查询次数 (E_Q) 接近理想的二十问问题，计算如下：
[E_Q = \sum_{l\in T}P(C_l)L(C_l) = \frac{1}{4} \times 2 + \frac{1}{4} \times 2 + \frac{1}{16} \times 1 + \frac{1}{4} \times 3 + \frac{3}{16} \times 3 = 2.3750]

总结

基于模型的决策树在处理分类问题时，贪心算法和全局优化方法各有优劣。贪心算法简单但可能忽略对稀有类有效的测试；全局优化方法能生成更平衡的树，但计算复杂度较高。形状量化和多随机树方法为图像分类提供了新的思路，通过利用标签和空间关系构建决策树，可有效对图像进行分类。

相关表格总结

方法	误分类率（(Y = b)）	误分类率（(Y = a)）	平均深度	成本
(T_{local})	(0)	(12.5\%)	(2.9993)	(0.0003)
(T_{global2})	-	-	(2.9993)	(0.0005999)

流程图示例

graph TD;
    A[开始] --> B[选择根节点测试];
    B --> C{是否贪心算法};
    C -- 是 --> D[贪心选择测试];
    C -- 否 --> E[全局优化计算];
    D --> F[构建局部树];
    E --> G[构建全局树];
    F --> H[评估局部树性能];
    G --> I[评估全局树性能];
    H --> J[结束];
    I --> J;

以上介绍的方法在不同场景下各有优势，可根据具体问题选择合适的方法进行分类器设计。

基于模型的决策树与形状量化分类方法解析（续）

5. 方法对比与选择建议

在实际应用中，基于模型的决策树的贪心算法和全局优化方法，以及形状量化和多随机树方法，都有各自的特点和适用场景。下面从多个方面对这些方法进行对比，并给出选择建议。

5.1 计算复杂度

• 贪心算法 ：计算相对简单，在每一步只考虑当前局部最优的选择，不需要对所有可能的树结构进行搜索。例如在选择根节点测试时，只需计算当前可选测试的条件熵，然后选择使条件熵最小的测试。但这种方法可能会陷入局部最优，忽略了对全局最优解的探索。
• 全局优化方法 ：计算复杂度较高，需要计算大量的后验概率，如计算 (C^ (M, D)) 时，需要逐步计算 (C^ (M_1, D - 1))、(C^*(M_2, D - 2)) 等。不过，它能在更大的搜索空间中寻找最优解，有可能得到更优的分类树。
• 形状量化和多随机树方法 ：在构建决策树时，需要考虑标签之间的空间关系，随着标签数量的增加，关系的组合数量会急剧增长，导致计算复杂度增加。但通过合理选择标签和关系，可以在一定程度上控制复杂度。

5.2 分类性能

• 贪心算法 ：对于常见类的分类效果较好，如在稀有类问题中，当真实类为常见类 (b) 时，误分类率为 (0)。但对于稀有类的分类效果可能不佳，如在测试未在训练中出现的稀有类 (a) 样本时，误分类错误率为 (12.5\%)。
• 全局优化方法 ：在更深的树中，通常能提高局部方法的误分类率，生成更平衡的树，包含更多对稀有类有效的测试节点，从而改善对稀有类的分类性能。
• 形状量化和多随机树方法 ：通过利用标签和空间关系，能有效提取图像的特征信息，对于图像分类问题有较好的分类性能。特别是在处理低分辨率图像时，通过合理选择标签和关系，可以提高分类的准确性。

5.3 选择建议

• 如果数据规模较小，且对计算效率要求较高，可以优先考虑贪心算法。它能快速构建决策树，虽然可能不是全局最优解，但在很多情况下能满足基本的分类需求。
• 如果数据规模较大，且对分类性能要求较高，尤其是需要更好地处理稀有类问题，可以考虑全局优化方法。尽管计算复杂度较高，但通过更全面的搜索，有可能得到更优的分类结果。
• 对于图像分类问题，形状量化和多随机树方法是一个不错的选择。它能充分利用图像的空间结构信息，通过构建基于标签和关系的决策树，实现对图像的有效分类。

6. 实际应用案例分析

为了更好地理解这些方法在实际中的应用，下面给出一个具体的案例分析。

假设我们要对手写数字图像进行分类，将图像分为 (0 - 9) 共 (10) 个类别。

6.1 数据预处理

首先，将手写数字图像转换为二进制位图，提取图像的特征。可以采用形状量化方法，选择合适的标签和空间关系。例如，选择 (2\times 2) 的标签，考虑标签之间的“北”“南”“西”“东”关系，构建规范二进制关系集合。

6.2 决策树构建

• 贪心算法 ：在构建决策树时，从规范二进制关系集合中选择使条件熵最小的关系作为根节点测试。然后依次选择后续节点的测试，直到满足停止条件。例如，可能会选择某个标签的“北”关系作为根节点测试，将图像分为不同的子集，再在子集中继续选择测试。
• 全局优化方法 ：考虑所有可能的测试组合，通过动态规划方法计算最优的树结构。在计算过程中，需要计算大量的后验概率，根据概率选择每一层的最佳测试。例如，可能会在不同的层次选择不同的标签关系，以达到全局最优的分类效果。

6.3 分类结果评估

对构建好的决策树进行测试，使用测试数据集评估分类性能。可以计算误分类率、准确率等指标。例如，通过贪心算法构建的决策树可能对常见数字的分类准确率较高，但对某些稀有数字（如书写不规范的数字）的分类准确率较低；而通过全局优化方法构建的决策树可能在整体上有更高的分类准确率。

7. 未来发展趋势

随着数据量的不断增加和分类问题的日益复杂，基于模型的决策树和形状量化分类方法也在不断发展。以下是一些未来的发展趋势：

7.1 结合深度学习

深度学习在图像分类等领域取得了巨大的成功，将基于模型的决策树和形状量化方法与深度学习相结合，有望进一步提高分类性能。例如，可以利用深度学习提取图像的高级特征，然后将这些特征输入到决策树中进行分类，或者使用决策树对深度学习模型的输出进行进一步的细化。

7.2 多模态数据处理

在实际应用中，数据往往具有多模态的特点，如图像、文本、音频等。未来的研究可以探索如何将这些方法应用于多模态数据的分类问题，通过综合利用不同模态的数据信息，提高分类的准确性和可靠性。

7.3 可解释性增强

决策树具有较好的可解释性，但在处理复杂问题时，其解释性可能会受到影响。未来的研究可以致力于增强决策树的可解释性，例如通过可视化方法展示决策树的决策过程，或者通过引入可解释的模型结构，使决策树的决策过程更加透明和易于理解。

总结

基于模型的决策树和形状量化分类方法在分类器设计中具有重要的应用价值。贪心算法和全局优化方法在处理分类问题时各有优劣，形状量化和多随机树方法为图像分类提供了有效的解决方案。在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的方法，并结合未来的发展趋势，不断改进和优化这些方法，以提高分类性能和解决更复杂的分类问题。

相关表格总结

发展趋势	特点	应用场景
结合深度学习	利用深度学习提取高级特征，提高分类性能	图像分类、语音识别等
多模态数据处理	综合利用不同模态的数据信息	智能安防、智能医疗等
可解释性增强	使决策树的决策过程更加透明和易于理解	金融风险评估、医疗诊断等

流程图示例

graph TD;
    A[数据预处理] --> B{选择方法};
    B -- 贪心算法 --> C[构建贪心决策树];
    B -- 全局优化方法 --> D[构建全局优化决策树];
    B -- 形状量化方法 --> E[构建形状量化决策树];
    C --> F[评估分类性能];
    D --> F;
    E --> F;
    F --> G{是否满足要求};
    G -- 是 --> H[应用于实际场景];
    G -- 否 --> I[调整方法或参数];
    I --> B;

通过以上的分析和总结，我们对基于模型的决策树和形状量化分类方法有了更深入的理解，希望这些内容能为相关领域的研究和应用提供有益的参考。