26、特征选择、变换与分类器设计相关知识探讨

特征选择、变换与分类器设计相关知识探讨

1. 特征选择问题

1.1 过滤法和包装法

特征选择主要有过滤法（filter）和包装法（wrapper）两种方法。包装法更易出现过拟合问题，因为它依赖于特定的分类器，在训练过程中可能会过度适应训练数据，而无法很好地泛化到测试数据。过滤法特征选择并不总是能提高分类结果，它独立于分类器，仅基于数据的固有特性进行特征选择，有时可能会忽略一些对特定分类器有用的特征。

1.2 基于互信息的过滤法 - 互信息的估计

互信息 (I(S; C)) 可以通过条件熵和联合熵两种不同方式计算。当 (C) 为离散变量时，条件形式对于特征选择问题是合适的，因为它能反映在给定特征 (S) 的条件下，类别 (C) 的不确定性减少程度。但当 (C) 为连续变量时，条件形式可能不太适用，因为连续变量的熵和条件熵计算相对复杂，需要采用一些估计技术。

1.3 互信息计算

对于连续特征，需要使用估计技术来计算互信息；而对于分类数据，可以直接应用离散情况下的互信息公式。以下是一个简单的分类数据集示例：
| (x_1) | (x_2) | (x_3) | (C) |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| (A) | (\Delta) | (\Theta) | (C_1) |
| (B) | (Z) | (I) | (C_1) |
| (A) | (E) | (I) | (C_2) |
| (\Gamma) | (Z) | (I) | (C_2) |

该数据集有三个特征，可能的特征集数量为 (2^3 - 1 = 7) 个（除去空集）。可以根据离散互信息公式分别计算每个特征集与类别的互信息。

1.4 马尔可夫毯用于特征选择

马尔可夫毯准则用于特征选择时，会移除那些在剩余特征集中能找到马尔可夫毯的特征。对于完全不相关的特征，其马尔可夫毯为空集，因为它们与其他特征和类别之间没有依赖关系。

1.5 特征选择中的条件依赖

马尔可夫毯和 MD 准则不假设特征之间相互独立，能够考虑复杂的依赖模式。它们作为特征选择的过滤方法，独立于分类器。然而，它们并不一定能提高所有类型分类器的分类率。例如，“Corral” 数据集在使用朴素贝叶斯分类器时，使用所有特征的效果比仅使用前四个特征（能完全确定类别标签）的效果更好，这可能是因为朴素贝叶斯分类器假设特征之间相互独立，而实际数据中特征之间存在复杂的依赖关系，使用所有特征可以更好地捕捉这些依赖关系。

1.6 互信息和条件依赖

维恩图有助于直观理解互信息。可以为 “Corral” 数据集绘制维恩图，通过图形展示特征之间、特征与类别之间的信息重叠和独立部分。

1.7 基于互信息的过滤法 - 复杂度

mRMR 和 MD 准则在复杂度方面存在差异，熵的估计是一个重要的复杂度因素。以下是两个经典数据集的情况：
- NCI 数据集 ：包含 60 个样本（患者），每个样本有 6380 个特征（基因），样本被标记为 14 种不同的人类肿瘤疾病类别。由于特征数量远大于样本数量，熵的估计会比较困难，计算复杂度较高。在这种情况下，MD 准则可能更适合，因为它可以在一定程度上处理高维数据。对于搜索方向，可以考虑使用向后搜索，因为特征数量过多，向前搜索可能会导致计算量过大。
- Census Income 数据集 ：包含 48842 个样本（人口普查中的人），由 14 个特征描述，标签表示根据普查数据收入是否超过每年 50000 美元。样本数量较多，特征数量相对较少，熵的估计相对容易。mRMR 准则可能更适合，因为它可以在考虑特征与类别的相关性的同时，尽量减少特征之间的冗余。对于搜索方向，向前搜索可能更可行，因为特征数量较少，计算量相对较小。

1.8 最大熵满足额外约束

在计算拉格朗日乘子时，通过利用特定公式，得到的最大熵概率密度函数也满足额外约束：
[E(F_j(x)G’ r(x)) = \frac{1}{N} \sum {i=1}^{N} F_j(x_i)G’_r(x_i)]
其中 (j = 1, \ldots, m)，(k = 1, \ldots, m)，(N) 为样本数量 (x_i)，(G_r(x) = x_r)。可以通过一系列数学推导得到 (\beta) 变量和拉格朗日乘子。

1.9 MML 用于特征选择和高斯聚类

在使用高斯混合模型估计聚类的同时进行特征选择时，可以使用最小消息长度（MML）准则来衡量数据维度（特征）的显著性。MML 准则的公式为：
[MML(\Theta) = -\log p(\Theta) - \log(D|\Theta) + \frac{1}{2}|I(\Theta)| + \frac{c}{2} \left(1 + \log \frac{1}{12} \right)]
其中 (\Theta) 是模型的参数（均值、方差），(D) 是数据，(\log(D|\Theta)) 是对数似然，(I(\Theta)) 是费舍尔信息矩阵。无关特征的 MML 值接近零。例如，在 (R^2) 的正象限中，有两个不同的垂直高斯分布，当它们的均值差异较大时，(x) 和 (y) 维度都是相关的；但当均值差异较小时，使用主成分分析（PCA）将两个高斯分布合并为一个时，可能只有 (y) 维度是相关的。可以通过 MML 量化这种相关性，并研究随着 (dx) 的增大，相关性的变化情况。

1.10 FRAME 算法的复杂度

要估计 Alg. 12 的计算复杂度，需要考虑给定的图像大小、强度范围、扫描次数和滤波器。可以根据算法中各个步骤的计算量，结合当前笔记本电脑的计算性能，大致估计其执行时间。例如，假设图像大小为 (M \times N)，强度范围为 (I)，扫描次数为 (S)，滤波器数量为 (F)，每个滤波器的计算复杂度为 (O(f))，则算法的总计算复杂度可以表示为 (O(M \times N \times I \times S \times F \times f))。

1.11 FRAME 和一维模式

Alg. 12 方法也可用于合成或重现一维模式，如语音信号或尖峰序列。边缘检测器（对比度）滤波器可以突出信号中的边缘和变化，有助于捕捉信号的细节信息；平均滤波器（平滑）可以减少信号中的噪声，使信号更加平滑；强度滤波器可以直接利用信号的强度直方图，反映信号的整体强度分布。应根据可用的示例数量选择合适数量的滤波器，示例数量较多时，可以使用更多的滤波器来捕捉更多的特征；示例数量较少时，应避免使用过多的滤波器，以免过拟合。

1.12 极小极大熵和滤波器搜索

在描述 Alg. 14 时，选择最优滤波器与最小化 (f(I)) 和 (p(I; \Lambda_m, S_m)) 之间的 Kullback - Leibler 散度有关。可以证明，这种散度可以表示为两个分布熵的差值。由于 (H(f(I))) 是固定的，为了最小化 Kullback - Leibler 散度，只需要最小化 (H(p(I; \Lambda_m, S_m)))。证明过程可以利用 (E_{p(I; \Lambda_m, S_m)}(\alpha_j) = E_{f(I)}(\alpha_j))，(j = 1, \ldots, m) 这一条件。

1.13 Kullback - Leibler 梯度

在 Alg. 14 中，如果有两个拉格朗日乘子 (\Lambda) 和最优拉格朗日乘子 (\Lambda^ )，则有：
[D(f(I)||p(I; \Lambda)) = D(f(I)||p(I; \Lambda^ )) + D(p(I; \Lambda^ )||p(I; \Lambda))]
由于 Kullback - Leibler 散度具有非负性，所以最优选择 (\Lambda^ ) 总是具有最小的散度。

1.14 排列、Veronese 映射和广义主成分分析（gPCA）

在 gPCA 中，(n) 个子空间的排列可以用一组 (n) 次多项式表示。以 (R^3) 中的一个配置为例，(V_1 = {x : x_1 = x_2 = 0}) 是一条过原点的垂直线，(V_2 = {x : x_3 = 0}) 是一个过原点的水平面，它们的并集 (V_1 \cup V_2) 可以表示为：
[V_1 \cup V_2 = {x : (x_1 = x_2 = 0) \vee (x_3 = 0)} = {x : (x_1 = 0 \vee x_3 = 0) \wedge (x_2 = 0 \vee x_3 = 0)} = {x : (x_1x_3 = 0) \wedge (x_2x_3 = 0)]
用多项式 (q_1(x) = (x_1x_3)) 和 (q_2(x) = (x_2x_3)) 表示。通用雅可比矩阵为：
[J(Q(x)) =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial q_1}{\partial x_1} & \frac{\partial q_1}{\partial x_2} & \frac{\partial q_1}{\partial x_3} \
\frac{\partial q_2}{\partial x_1} & \frac{\partial q_2}{\partial x_2} & \frac{\partial q_2}{\partial x_3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_3 & 0 & x_1 \
0 & x_3 & x_2
\end{pmatrix}]

选择 (z_1 = (0, 0, 1)^T) （对于直线）和 (z_2 = (1, 1, 0)^T) （对于平面），可得：
[J(Q(z_1)) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
J(Q(z_2)) =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}]

可以验证得到的基向量都与对应的 (Dp_1(z_i)) 和 (Dp_2(z_i)) 正交。可以从 Veronese 映射计算这些多项式，对于 (n = 2) 在 (R^3) 中，有 6 个单项式和系数。可以为每个子空间提供 10 个样本，计算向量集合 (Q) 和雅可比矩阵，并确保结果与上述描述一致。还可以进行无监督学习（使用桑普森距离），引入噪声样本，测试秩的变化和分割的缺陷。

1.15 gPCA 和最小有效维度

考虑 (R^3) 中的一个配置：两个正交平面，一个拟合 500 个样本，另一个拟合 100 个样本；两条直线，每条直线关联 200 个样本。可以计算最小有效维度（MED）和最优排列，具体计算方法需要根据相关理论和公式进行，例如通过计算每个子空间的维度和样本分布，综合考虑得到最小有效维度和最优的子空间排列方式。

2. 分类器设计

2.1 引言

经典的信息论分类器是决策树，但它存在过拟合的缺点，即在测试数据上会产生较大的分类误差。因此，通常需要对决策树进行剪枝优化。除了剪枝，还可以采用其他方法。首先回顾增量（局部）方法构建决策树的基本原理，然后介绍一种在有概率模型可用时适用的全局方法，该方法通过动态规划算法实现。此外，还会介绍一种将决策树应用于图像分类的算法框架。在图像分类中，由于可能的测试数量众多，建议避免构建单一的深层树，而是采用多个浅层树的集成分类方法。这种集成分类方法由多个简单分类器组合而成，信息论在其设计中起着重要作用。例如，适用于图像的方法在光学字符识别（OCR）领域取得了实验结果，表明树平均法是有效的。这种方法启发了经典的随机森林方法，我们将分析其泛化误差，并展示其在生物信息学等不同领域的应用，同时探讨其与 Boosting 方法的联系。此外，还会介绍两种改进 Boosting 方法的途径，以及最大熵分类器和信息投影的扩展（Bregman 散度）在构建线性分类器中的应用。

2.2 基于模型的决策树

2.2.1 回顾信息增益

设 (X = {x}) 为训练集（示例模式），(Y = {y}) 为类别标签，通过监督方式为 (X) 中的每个元素分配类别标签。分类树（如 CART 或 C4.5）是从这些关联中提取的模型，用于预测未知模式的最可能类别。每个模式 (x \in X) 是一个特征向量 (x = (x_1, x_2, \ldots, x_N))，每个特征 (x_t) 都有一个关联的测试 (I(x_i > c_i) \in {0, 1})，其值取决于 (x_i\ 是否大于给定阈值 (c_i)。

决策树 (T)（假设为二叉树）由一组内部节点 (\dot{T}) 和一组终端节点（叶子）(\partial T) 组成，内部节点与测试相关联，叶子与类别标签相关联。分类结果 (h_T(x) \in Y) 依赖于到达叶子节点所经过的测试序列。

构建决策树 (T) 需要建立每个内部节点 (t \in \dot{T}) 与测试 (X_t = I(x_i > c_i)) 之间的对应关系 (\pi(t) = i)，这种对应关系会在树的测试（节点）之间引入部分顺序。在经典的前向贪心方法中，与根节点相关联的测试是能获取关于 (Y) 最多信息的测试，即最大化 (H(Y) - H_t(Y|X_t)) 的测试，其中 (H_t(Y|X_t)) 是基于测试可能结果的条件熵：
[H_t(Y|X_t) \equiv P(X_t = 0)H_{t0}(Y) + P(X_t = 1)H_{t1}(Y)]
[P(X_t = 1) = \frac{|X_t|}{|X|}] 是满足测试 (X_t) 的示例在 (X) 中的比例，(P(X_t = 0) = 1 - P(X_t = 1))。(H_{t0}(Y)) 和 (H_{t1}(Y)) 分别是 (t) 的两个分支的熵：
[H_{t0}(Y) \equiv H(Y|X_t = 0) = -\sum_{y \in Y} P(Y = y|X_t = 0) \log_2 P(Y = y|X_t = 0)]
[H_{t1}(Y) \equiv H(Y|X_t = 1) = -\sum_{y \in Y} P(Y = y|X_t = 1) \log_2 P(Y = y|X_t = 1)]

选择根节点的测试后，递归地选择后续节点的测试。如果 (X \sim X_t) 非常均匀，使得 (H_{t0}(Y) < \epsilon) 且 (\epsilon \approx 0)，则将该节点标记为叶子节点，并将 (X \sim X_t) 中的所有示例标记为最频繁的类别。如果 (H_{t1}(Y) > \epsilon)，则继续选择能最大化 (H_t(Y) - H_t(Y|X_1 = 1, X_t)) 的特征。这个过程会递归进行，直到无法再细化任何节点，即所有节点都成为叶子节点。由于该过程是贪心的，很可能得到一个在分类性能上次优的树。

2.2.2 全局准则

与贪心方法不同，全局方法考虑到达叶子节点 (l \in \partial T) 的路径长度 (P)，设 (Q_l = X_{\pi(1)}^1 X_{\pi(2)}^1 \ldots X_{\pi(P - 1)})，则到达该叶子节点的概率为 (P(Q_t) = P(X_{\pi(1)} = k_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(P - 1)} = k_{\pi(P - 1)}))。全局误差部分通过最小化平均终端熵来衡量：
[H(Y|T) = \sum_{l \in \partial T} P(Q_l)H_l(Y) = \sum_{l \in \partial T} P(Q_l)H(Y|Q_l)]
这意味着要么在 (P(Q_l)) 显著时使叶子节点的熵较小，要么在 (H(Y|Q_l)) 显著时使 (P(Q_l)) 较小。

此外，还需要考虑基于复杂度的准则，即最小化期望深度：
[E_d(T) = \sum_{l \in \partial T} P(Q_l)d(l)]
其中 (d(l)) 是叶子节点的深度（根节点深度为 0）。

将这两个准则结合成一个单一的准则，最优树取决于可能测试集合 (X = {X_1, \ldots, X_N}) 和真实类别 (Y) 的联合分布，即模型 (M)。在某些计算机视觉应用（如人脸检测）中，存在一个“罕见”类别（如人脸）和一个“常见”类别（如背景），可以估计先验密度 (p_0(y))，(y \in Y = {a, b})，并利用这些知识加速分类树的构建。

全局优化问题可以表述为找到：
[T^ = \arg \min_{T \in \Omega} C(T, M) = H(Y|T) + \lambda E_d(T)]
其中 (\Omega) 是根据可用特征（测试）可能的树的集合，(\lambda > 0) 是控制参数，(T^ ) 的最大深度受 (D = \max_{l \in \partial T} d(l)) 限制。

有趣的是，成本 (C(T, M)) 可以递归计算。如果假设测试 (X_t) 与树的根节点相关联，则有：
[C(T, M) = \lambda + P(X_t = 0)C(T_0, {M|X_t = 0}) + P(X_t = 1)C(T_1, {M|X_t = 1}) = \lambda + \sum_{k \in {0, 1}} P(X_t = k)C(T_k, {M|X_t = k})]
其中 (C(T_k, {M|X_t = k}) = H(Y|T_k, X_t = k) + \lambda E_d(T_k))。

综上所述，特征选择和分类器设计是机器学习和模式识别中的重要环节。特征选择可以减少数据维度，提高模型的泛化能力；而分类器设计则直接影响模型的分类性能。不同的方法适用于不同的数据集和应用场景，需要根据具体情况选择合适的方法。同时，集成分类方法和信息论在分类器设计中的应用为提高分类性能提供了新的思路和方法。

2.3 集成分类方法

2.3.1 随机森林

随机森林是一种基于决策树的集成分类方法，它通过组合多个决策树来提高分类性能。其基本思想是在构建每棵决策树时，随机选择一部分特征和样本，从而增加树之间的多样性。

随机森林的构建过程如下：
1. 随机采样 ：从原始训练数据集中有放回地随机抽取一定数量的样本，形成一个新的训练子集。
2. 随机特征选择 ：在每个节点分裂时，随机选择一部分特征，而不是使用所有特征。
3. 构建决策树 ：使用随机采样得到的训练子集和随机选择的特征，构建一棵决策树。
4. 重复步骤 1 - 3 ：构建多棵决策树，形成随机森林。
5. 分类决策 ：对于一个新的样本，将其输入到随机森林中的每棵决策树，根据每棵树的分类结果进行投票，得票最多的类别作为最终的分类结果。

随机森林的优点包括：
- 具有较高的分类准确率，能够处理高维数据和大量样本。
- 对噪声和异常值具有较好的鲁棒性。
- 可以评估特征的重要性，帮助进行特征选择。

2.3.2 与 Boosting 的联系

Boosting 是另一种集成分类方法，它通过迭代地训练一系列弱分类器，并将它们组合成一个强分类器。Adaboost 是一种经典的 Boosting 算法，其基本思想是在每一轮训练中，调整样本的权重，使得前一轮分类错误的样本在本轮训练中得到更多的关注。

随机森林和 Boosting 都属于集成分类方法，但它们有一些区别：
- 样本选择方式 ：随机森林在构建每棵树时，通过有放回的随机采样选择样本；而 Boosting 在每一轮训练中，根据样本的权重进行采样。
- 特征选择方式 ：随机森林在每个节点分裂时，随机选择一部分特征；而 Boosting 通常使用所有特征。
- 弱分类器的组合方式 ：随机森林通过投票的方式组合多棵决策树；而 Boosting 通过加权求和的方式组合多个弱分类器。

2.4 改进 Boosting 的方法

2.4.1 基于互信息最大化的 Boosting（Infomax Boosting）

基于互信息最大化的 Boosting 方法通过最大化特征与类别之间的互信息来选择特征，从而提高分类性能。在每一轮训练中，选择与类别互信息最大的特征作为弱分类器的输入，然后更新样本的权重，使得分类错误的样本在后续训练中得到更多的关注。

2.4.2 基于 Jensen - Shannon 散度最大化的 Boosting（JBoost）

基于 Jensen - Shannon 散度最大化的 Boosting 方法通过最大化 Jensen - Shannon 散度来选择特征。Jensen - Shannon 散度是一种衡量两个概率分布之间差异的指标，通过最大化该散度，可以选择能够更好地区分不同类别的特征。

这两种改进的 Boosting 方法的主要区别在于特征选择的方式：Infomax Boosting 基于互信息，适用于线性特征选择；而 JBoost 基于 Jensen - Shannon 散度，适用于非线性特征选择。

2.5 最大熵分类器

最大熵分类器是一种基于最大熵原理的分类方法，其基本思想是在满足已知约束条件的前提下，选择熵最大的概率分布作为分类模型。

最大熵分类器的训练过程通常使用迭代缩放算法来求解拉格朗日乘子。与其他方法不同的是，这里的迭代缩放算法与之前的方法有所区别，它是在没有与生成模型耦合的情况下进行的。

最大熵分类器的优点包括：
- 能够处理各种类型的特征，包括连续特征和离散特征。
- 具有较好的泛化能力，能够避免过拟合。

2.6 信息投影的扩展（Bregman 散度）

信息投影是一种用于构建线性分类器的方法，Bregman 散度是信息投影的扩展。Bregman 散度是一种衡量两个点之间差异的指标，它可以用于定义不同的距离度量，从而构建不同类型的线性分类器。

Bregman 散度在构建线性分类器中的应用包括：
- 选择合适的 Bregman 散度 ：根据具体的问题和数据特点，选择合适的 Bregman 散度，如欧几里得距离、Kullback - Leibler 散度等。
- 构建线性分类器 ：使用 Bregman 散度来定义损失函数，通过最小化损失函数来求解线性分类器的参数。

Bregman 散度的引入为构建线性分类器提供了更多的灵活性和选择，能够适应不同的应用场景。

3. 总结

3.1 特征选择与分类器设计的关系

特征选择和分类器设计是机器学习和模式识别中的两个重要环节，它们相互关联、相互影响。合适的特征选择可以减少数据维度，提高分类器的训练效率和泛化能力；而优秀的分类器设计可以充分利用选择的特征，实现准确的分类。

3.2 不同方法的适用场景

不同的特征选择方法和分类器设计方法适用于不同的数据集和应用场景，以下是一些总结：
|方法|适用场景|
| ---- | ---- |
|过滤法特征选择|数据维度高、样本数量大，对计算效率要求较高的场景|
|包装法特征选择|对分类准确率要求较高，且有足够的计算资源的场景|
|决策树分类器|数据具有层次结构，需要进行可解释性分类的场景|
|随机森林分类器|处理高维数据、大量样本，对噪声和异常值具有较好鲁棒性的场景|
|Boosting 分类器|需要提高弱分类器性能，对分类准确率要求较高的场景|
|最大熵分类器|处理各种类型的特征，需要较好泛化能力的场景|
|基于 Bregman 散度的线性分类器|需要根据具体问题选择合适距离度量的场景|

3.3 未来发展趋势

随着数据量的不断增加和数据类型的日益复杂，特征选择和分类器设计面临着新的挑战和机遇。未来的发展趋势可能包括：
- 深度学习与特征选择的结合 ：深度学习可以自动提取数据的特征，将深度学习与传统的特征选择方法相结合，有望进一步提高分类性能。
- 多模态数据的处理 ：处理包含图像、文本、音频等多种模态的数据，需要开发新的特征选择和分类器设计方法。
- 可解释性分类器的研究 ：在保证分类准确率的同时，提高分类器的可解释性，使得模型的决策过程更加透明。

3.4 流程总结

下面是一个特征选择和分类器设计的整体流程图：

graph TD;
    A[数据收集] --> B[特征选择];
    B --> C{选择分类器类型};
    C -->|决策树| D[构建决策树];
    C -->|随机森林| E[构建随机森林];
    C -->|Boosting| F[训练 Boosting 分类器];
    C -->|最大熵分类器| G[训练最大熵分类器];
    C -->|基于 Bregman 散度的线性分类器| H[构建线性分类器];
    D --> I[模型评估];
    E --> I;
    F --> I;
    G --> I;
    H --> I;
    I --> J{是否满足要求};
    J -->|是| K[应用模型];
    J -->|否| B;

这个流程图展示了从数据收集到模型应用的整个过程，包括特征选择、分类器选择、模型训练、评估和优化等步骤。如果模型的性能不满足要求，可以返回到特征选择步骤，重新进行特征选择和模型训练。

综上所述，特征选择和分类器设计是机器学习和模式识别中的核心内容，需要根据具体的问题和数据特点，选择合适的方法和技术，不断探索和创新，以提高分类性能和解决实际问题的能力。