46、基于Paillier加密的同态秘密共享技术解析

基于Paillier加密的同态秘密共享技术解析

1. 基础知识

在密码学领域，公钥加密系统是保障信息安全的重要工具。一个公钥加密系统 $\Pi$ 通常由三个算法组成：密钥生成算法（KeyGen）、加密算法（Enc）和解密算法（Dec）。
- 密钥生成算法（KeyGen） ：它是一个随机化算法，输入安全参数 $k$，输出公钥 - 私钥对 $(PK, SK)$。
- 加密算法（Enc） ：同样是随机化算法，输入消息 $m$ 和公钥 $PK$，输出密文 $c$。
- 解密算法（Dec） ：使用私钥 $SK$ 对密文 $c$ 进行解密。显然，如果 $(PK, SK) \leftarrow KeyGen(1^k)$ 且 $c \leftarrow Enc(PK, m)$，那么 $m = Dec(SK, c)$。

公钥加密系统还具有一些重要的安全属性，如语义安全和循环安全。
- 语义安全 ：意味着没有多项式时间的敌手能够区分两个它所选择的消息的加密结果。对于所有概率多项式时间敌手 $A$，有 $Pr[b’ = b : (PK, SK) \leftarrow KeyGen(k), (m_0, m_1) \leftarrow A(PK), b \leftarrow {0, 1}, b’ \leftarrow A^{O_b}(PK)] \leq \frac{1}{2} + \nu(k)$，其中预言机 $O_b$ 不接受输入，输出 $c \leftarrow Enc(PK, m_b)$，$\nu(k)$ 是一个可忽略函数。