26、超椭圆曲线迪菲 - 赫尔曼问题的比特安全性

超椭圆曲线迪菲 - 赫尔曼问题的比特安全性

1. 引言

离散对数问题（DLP）和迪菲 - 赫尔曼问题（DHP）是现代密码学中的基本原语，在许多密码应用中发挥着重要作用，如迪菲 - 赫尔曼密钥交换、ElGamal 加密、美国官方数字签名算法（DSA）以及 BLS 短签名方案等。由于 Pohlig 和 Hellman 攻击，本文将研究范围限制在素数阶 $p$ 的群上。

在密码学应用中，密钥的部分信息不可计算或不可预测至关重要，这与比特安全性或硬核比特问题相关。对于 DLP，Blum 和 Micali 引入了单向函数硬核比特的概念，并证明了离散对数函数存在硬核谓词。然而，对于 DHP，这仍是一个长期未解决的开放问题，目前只有少数群体得到了研究。

超椭圆曲线是椭圆曲线的自然推广，其雅可比群也被考虑用于密码学应用。相比于椭圆曲线（亏格为 1），亏格为 $g$ 的超椭圆曲线在相同安全级别下所需的基域更小。对于亏格为 2 的曲线，解决离散对数问题的最佳已知算法是通用攻击方法，且其在公钥密码学中的实际潜力已得到凸显。

本文的贡献如下：
1. 将 Boneh 和 Shparlinksi 关于椭圆曲线的方法推广到亏格为 2 的超椭圆曲线的雅可比群，证明了亏格为 2 的超椭圆曲线迪菲 - 赫尔曼秘密值的每个坐标的最低有效位与整个迪菲 - 赫尔曼值一样难以计算。
2. 将最低有效位的结果扩展到任意比特，表明对于亏格为 2 的超椭圆曲线，计算迪菲 - 赫尔曼值的任何坐标的任意比特与计算整个迪菲 - 赫尔曼值一样困难。
3. 将这些结果从亏格为 2 的超椭圆曲线推广到任意亏格的超椭圆曲线。

2. 数学预备知识

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