23、基于密码的认证密钥交换新框架与Schnorr签名安全性分析

基于密码的认证密钥交换新框架与Schnorr签名安全性分析

1. 相关符号与定义

在密码学领域，有许多重要的符号和定义。首先，若 (S) 是一个集合，(\vert S\vert) 表示集合 (S) 的基数，(x \leftarrow S) 表示从集合 (S) 中均匀采样得到 (x)。若对于任意 (c > 0)，存在 (\lambda_c) 使得对于所有 (\lambda > \lambda_c) 都有 (f(\lambda) < 1/\lambda_c)，则函数 (f) 是可忽略的（negl）。若 (A) 和 (B) 是分布，(A =_s B) 表示 (A) 和 (B) 之间的统计距离是可忽略的。

对于任意 (s > 0) 和 (c \in R^n)，定义高斯函数：(\forall x \in R^n)，(\rho_{s,c} = \exp(-\pi\vert\vert x - c\vert\vert^2/s^2))。对于任意 (c \in R)，实数 (s > 0) 和 (n) 维格 (\Lambda)，定义 (\Lambda) 上的离散高斯分布为 (\forall x \in \Lambda)，(D_{\Lambda,s,c}(x) = \frac{\rho_{s,c}(x)}{\rho_{s,c}(\Lambda)})，其中 (\rho_{s,c}(\Lambda) = \sum_{y \in \Lambda} \rho_{s,c}(y))。当 (c = 0) 时，省略参数 (c)。对于 (\alpha \in R^+)，(\Psi_{\alpha}) 定义为均值为 0 且标准差为 (\frac{\alpha}{\sqrt{2\pi}}) 的正态变量在 (R/Z)