30、非线性聚类：方法与应用

非线性聚类：方法与应用

在实际应用中，非线性聚类是一个重要且具有挑战性的任务。本文将介绍非线性聚类中的一些关键方法，包括核 k - 均值算法及其存在的问题，以及良心在线学习（COLL）方法，并通过视频聚类实验展示其应用效果。

1. 核函数与核矩阵

在实际情况中，映射函数 $\phi$ 通常未知或难以获取，且特征空间 $Y$ 的维度相当高。特征空间 $Y$ 由核函数 $\kappa$ 和相应的核矩阵 $K$ 来表征。
- 核函数定义 ：核是一个函数 $\kappa$，使得对于所有 $x, z \in X$，有 $\kappa(x, z) = \langle \phi(x), \phi(z) \rangle$，其中 $\phi$ 是从 $X$ 到（内积）特征空间 $Y$ 的映射。
- 核矩阵定义 ：核矩阵是一个方阵 $K \in \mathbb{R}^{n\times n}$，使得 $K_{i,j} = \kappa(x_i, x_j)$，其中 $x_1, \cdots, x_n \in X$ 且 $\kappa$ 为某个核函数。

由于实际中通常只有核矩阵 $K$ 可用，因此需要仅使用核矩阵的计算方法。

2. 批量核 k - 均值算法及问题

k - 均值算法是解决优化问题的最流行的迭代方法之一。它从随机初始化分配 $\pi$ 开始，通过迭代更新分配和原型来最小化失真误差，直到所有原型收敛或达到预设的迭代次数 $t_{max}$。

2.1 算法步骤

1. 初始化