7、曲线拟合：从线性到多项式的探索

曲线拟合：从线性到多项式的探索

在数据分析和科学研究中，我们常常会遇到需要根据给定的数据点构建一个连续函数的问题，这个过程就是曲线拟合。通过曲线拟合，我们可以找到一个函数来近似表示数据背后的潜在规律，进而预测未知点的函数值。

1. 曲线拟合概述

曲线拟合的核心挑战在于确定连续函数的形式。不同的问题可能需要不同类型的函数，例如线性函数、多项式函数等。

• 线性函数 ：对于某些简单的关系，如温度测量，线性函数可能是合适的选择。但对于像气体体积与压力的关系，线性函数往往不能很好地拟合数据。
• 多项式函数 ：多项式函数是一种常见的选择，但需要注意的是，高阶多项式并不一定能提供比低阶多项式更好的近似。有时，高阶多项式可能会导致过拟合，反而降低了模型的泛化能力。为了避免这个问题，我们可以采用分段多项式的方式，即样条函数。

2. 线性插值

线性插值是一种简单而常用的曲线拟合方法，它使用直线来近似数据。下面通过两个具体的例子来介绍线性插值的应用。

2.1 温度测量问题

• 问题描述 ：使用一个非数字汞温度计，其刻度范围为 0° 到 100°，刻度间隔为 10°。如何测量汞柱长度不在刻度点上时的温度？

• 解决方案 ：

  1. 估计汞柱在两个刻度点之间的位置，将其表示为两个刻度点之间距离的分数。
  2. 液体的温度等于较低刻度