HDU 5446 lucas定理 + 中国剩余定理

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数学中国剩余定理

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本文介绍了一种解决大数组合计算问题的方法，利用中国剩余定理(CRT)进行求解。面对庞大的数据范围，文章提供了一种通过将问题分解为多个较小的同余方程来解决的方式，并给出了具体的实现代码。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5446

求C(N,M)%MOD

n,m<=1e18

mod《1e18

但是mod由不超过10个不同素数组成，是个合数

因此：

令X=c(n,m)

分别求出

A1=X%m1

A2=X%m2

....

得到同余方程

x==(A1)%m1

x==(A2)%m2

.....

用CRT解出X

由于数据比较大，会爆LL，需要高精度乘

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
long long fac[maxn];
long long a[20],m[20];
long long n,mm;
int k;

void extend_Euclid(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extend_Euclid(b, a % b, x, y);
    long long tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b) * y;
}
long long  fast_multi(long long  m, long long  n, long long  mod)//快速乘法
{
    long long  ans = 0;//注意初始化是0，不是1
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            ans += m;
        m = (m + m) % mod;//和快速幂一样，只不过这里是加
        m %= mod;//取模，不要超出范围
        ans %= mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
long long CRT(long long a[],long long  m[],int n,long long & M)
{
    M = 1;
    long long ans = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        M *= m[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        long long x, y;
        long long Mi = M / m[i];
        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
        x = (x%m[i]+m[i])%m[i];
        //ans = (ans + ((Mi % M) * (x % M) % M* a[i]) % M) % M;
        long long tmp=fast_multi(Mi,x,M);
           ans = (ans +  fast_multi(tmp, a[i],M))  % M;

    }
    if(ans < 0) ans += M;
    return ans;
}
void init(long long p)
{
    fac[0] =1;
    for(int i =1; i <= p; i++)
        fac[i] =  fac[i-1]*i % p;
}

long long fast_m(long long a, long long b,long long p)
{
    long long tmp = a % p, ans =1;
    while(b)
    {
        if(b &1)  ans = ans * tmp % p;
        tmp = tmp*tmp % p;
        b >>=1;
    }
    return  ans;
}
 long long Lucas(long long n,long long m,long long p)
{
    long long ret=1;
    while(n&&m)
    {
        long long a=n%p,b=m%p;
        if(a<b) return 0;
        ret=(ret*fac[a]*fast_m(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2,p))%p;
        n/=p;
        m/=p;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);

    int tt;scanf("%d",&tt);
    while (tt--)
    {
        scanf("%lld%lld%d",&n,&mm,&k);
        for (int i=1; i<=k; i++)
        {
            scanf("%lld",&m[i]);
            init(m[i]);
            a[i]=Lucas(n,mm,m[i]);
        }
        long long M;
        long long ans=CRT(a,m,k,M);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}