矩阵的秩到底描述了什么？

秩

1. 「秩」是图像经过矩阵变换之后的空间维度。
   假设原始向量A(x,y)是一个点，如果与矩阵$\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& -sin(\theta )\\ sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]$相乘之后得到，$A(xCos(\theta )+ySin(\theta ),-xSin(\theta )+yCos(\theta ))$向量。

相当于对矩阵进行了旋转。

因为矩阵$\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& -sin(\theta )\\ sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]$的秩是2，所以旋转之后的维度也是2维。

如果我们通过矩阵 $\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right]$进行变换：那么变换后的向量为：$A(x+y,-x-y)$，变换后的图像为：

因此，此矩阵的「秩」为1。

我们通过矩阵$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$进行变换：

因此，此矩阵的「秩」为0。

所以，「秩」是图像经过矩阵变换之后的空间维度。