32、图像分析中的离散变换技术详解

图像分析中的离散变换技术详解

1. 图像分析概述

在图像处理领域，除了常见的图像变换操作，还有一类操作能将图像转换为完全不同的表示形式。这些新的表示通常仍是值的数组，但与输入图像的强度值含义可能大不相同。例如，离散傅里叶变换（DFT）的输出“图像”虽仍是数组，却包含了输入图像的频率信息。此外，还会涉及图像分割方法，用于将图像表示为有意义的连通区域。

2. 离散傅里叶变换（DFT）

2.1 DFT 定义

对于由离散（整数）参数索引的一组值，可以定义离散傅里叶变换（DFT），类似于连续函数的傅里叶变换。
- 一维 DFT 定义：对于 N 个复数 (x_0, x_1, x_2, …, x_{N - 1})，一维 DFT 定义为 (g_k = \sum_{n = 0}^{N - 1} f_n e^{-\frac{2\pi i}{N} kn})，其中 (i = \sqrt{-1})。
- 二维 DFT 定义：对于二维数组，(g_{k_x,k_y} = \sum_{n_x = 0}^{N_x - 1} \sum_{n_y = 0}^{N_y - 1} f_{n_x,n_y} e^{-\frac{2\pi i}{N} (k_xn_x + k_yn_y)})。

通常，计算 N 个不同的 (g_k) 项需要 (O(N^2)) 次操作，但有几种快速傅里叶变换（FFT）算法可以在 (O(N log N)) 时间内完成计算。

2.2 OpenCV 中的 DFT 函数：cv::dft()

OpenCV 中的 cv::dft() 函数实现了一种 FFT 算法，可计算一