63、理论与复杂度类：证明复杂度领域的深入探索

理论与复杂度类：证明复杂度领域的深入探索

在计算理论的发展历程中，证明与计算之间的关系一直是研究的核心内容。从证明理论和可计算性理论诞生之初，人们就开始探索两者之间的联系，并取得了一系列有趣的成果。其中，丘奇（Church）的 λ - 演算在形式化计算方面表现得尤为突出。

早期理论系统的发展

随着计算复杂度理论的出现，寻找与多项式时间计算相关的逻辑演算成为了自然的研究方向。帕里克（Parikh）提出了一个基于皮亚诺算术（Peano Arithmetic）的“拟人化系统” PB，该系统将归纳法限制在一类有效性可高效测试的公式子类上。具体而言，PB 中的归纳法仅适用于有界算术公式，即量化范围被限制在有限区间内的公式。对于这类公式，可以通过算法在线性空间内决定其在自然数域中的可满足性。而且，在 PB 以及后续研究的许多理论中，无法证明对于每个 x 都存在 2x，也就是说，指数函数不是可证明的全函数。从哲学角度看，这样的系统更贴近人类实际能完成的任务；从数学角度看，它更契合复杂度理论的研究。

随后在 1975 年，库克（Cook）引入了他的多项式可验证恒等式系统 PV，其目标是设计一个与多项式时间计算有某种关联的系统。基于这两个形式系统，J. 帕里斯（J. Paris）、A. 威尔基（A. Wilkie）、S. 布斯（S. Buss）等人又引入了更多的理论。尽管这些系统各有不同，但本质上是一致的。

与此同时，另一个研究方向聚焦于证明命题演算中证明长度的下界。这个看似不相关的主题与上述理论有着紧密的联系。库克发现，某类句子的证明可以转化为命题演算中重言式序列的至多多项式长度的证明。从原理上讲，这使得人们可以通过证明命题演算中重言式的下界来证明某些句子的独立性。然而，证明命题证明