32、集合论与数学中的不可能证明

集合论与数学中的不可能证明

集合论公理系统概述

集合论有两大主要公理系统：伯特兰·罗素的类型论和策梅洛 - 弗兰克尔集合论。如今，策梅洛 - 弗兰克尔集合论被大多数数学家接受，认为它描述了真正的集合宇宙。

虽然类型论和策梅洛集合论（策梅洛 - 弗兰克尔集合论的基础部分）基于不同的思想，但本质上是相同的。策梅洛 - 弗兰克尔集合论在概念上更简单，更强，并且可以自然地扩展到更强的系统。

在集合的概念中，无限集被定义为满足有限集所不具备的某种性质的集合。在策梅洛 - 弗兰克尔集合论中，存在无限多种不同的无限基数，且没有最大的基数。实数的基数大于自然数的基数，但我们不知道，也许永远也不会知道，它们之间是否存在其他无限基数。

大基数公理是使策梅洛 - 弗兰克尔集合论更强的新公理。使用这些公理，我们可以判定一些在纯策梅洛 - 弗兰克尔集合论中无法判定的重要陈述。然而，这些公理的问题在于，它们越强，不一致的风险就越大。我们无法确保它们的一致性，只能依靠大量研究未发现矛盾的经验。

选择公理有一些看似矛盾的结果，但它不会给策梅洛 - 弗兰克尔集合论引入不一致性。我们可以用使实数集表现更好的公理来取代选择公理。特别是，如果我们放弃无限制的选择公理，只使用其较弱的版本，假设所有实数子集都是可测的是一致的。

我们所使用的特定公理集可能是历史偶然的结果。可以想象，如果决定性公理在选择公理之前被发现，它可能会成为首选。

已经提出了各种其他集合论公理系统，但只有策梅洛 - 弗兰克尔系统被专业数学家接受，可能的原因是它是现有最强的理论。新基础是一个有趣的系统，因为我们仍然不知道它是否一致。更准确地说，我们没有在该系统中找到矛盾的证明