9、数学世界：理论层级、证明系统与语言逻辑

数学世界：理论层级、证明系统与语言逻辑

一、理论层级与算术系统

在数学领域，常常能从公式的层级中构建出理论的层级。以皮亚诺算术为例，该理论中的元素是数字，仅涉及顺序关系以及加法和乘法运算。其公式仅借助顺序、加法和乘法来表达关于数字的事实，这种语言被称作算术语言，相应的公式则是算术公式。

皮亚诺算术有一些基础公理以及针对语言中每个公式的无穷归纳公理集。然而，尽管对每个公式都有归纳原则，皮亚诺算术仍是不完备的，存在一些真实的算术语句在该理论中无法被证明。这并非是归纳原则不足以刻画自然数，而是因为在皮亚诺算术中，此原则仅针对算术公式表述。有些真实语句需要更高阶的归纳，于是便有了二阶算术理论。在二阶算术中，还能讨论数字的子集，并且归纳是针对扩展语言中的公式进行表述的。二阶算术比皮亚诺算术更强，但依旧不完备，以此类推，还能定义三阶算术等。

另外，基于量词复杂度也能构建理论层级。对于每个数字(n)，取仅对最多有(n)次量词交替的公式使用归纳公理的皮亚诺算术，这样就得到了一系列强度随(n)增加的理论，且这些理论都弱于皮亚诺算术。

二、证明系统：归结演算

逻辑中常用的演算似乎不太适合自动定理证明。20世纪60年代，J.A. Robinson做出主要贡献，开发出一个非常紧凑的系统——归结演算。该证明系统用于证明一阶语句（带量词的语句），其命题部分（也称为归结）因是命题逻辑中最简单的证明系统而被广泛研究。

下面通过残缺棋盘问题来解释归结演算的应用：
1. 原子命题 ：原子命题表示多米诺骨牌放置在特定两个相邻方格上。例如，多米诺骨牌放在方格(b2)、(c2)上的命题记为([b2,c2])。