2、线性代数基础：矩阵与向量运算全面解析

线性代数基础：矩阵与向量运算全面解析

1. 矩阵乘法

矩阵乘法是线性代数中的重要运算。对于两个矩阵 (A \in R^{m \times n}) 和 (B \in R^{p \times q})，要使它们可相乘，必须满足 (n = p)，相乘结果是一个 (C \in R^{m \times q}) 的矩阵。矩阵 (C) 的元素可以通过以下公式计算：
[c_{ij} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik}b_{kj}, \quad i = 1, 2, \cdots, m; \quad j = 1, 2, \cdots, q]
例如，对于两个 (2 \times 2) 的矩阵 (A) 和 (B)：
[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}]
计算过程如下：
[c_{11} = 1\times5 + 2\times7 = 19]
[c_{12} = 1\times6 + 2\times8 = 22]
[c_{21} = 3\times5 + 4\times7 = 43]
[c_{22} = 3\times6 + 4\times8 = 50]
所以，(C = \begin{bmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{bmatrix})。

矩阵乘法的步骤总结如下：
1. 检查两个矩阵的维度是否满足相乘条件（前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数）。
2. 根据公