【线性代数】【一】 1.4 矩阵运算

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前言

这篇博客写在1.5 矩阵的逆之后，很惭愧，写完了逆的部分，发现还没有完整地介绍一下矩阵的运算，直接加在逆那篇又嫌冗长，只好单独补一篇。

没写也是因为纠结需不需要写，矩阵的运算像从小就学的加减乘除四项运算一样刻入脑海，以至于都忽视了它。不过本着系列的完整性，还是写吧。

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一、为什么引入矩阵的运算

怎么看待矩阵的运算呢？其实矩阵的运算是给出了一种批量进行大量运算的模式。我们从小学的四项运算很直观清楚，但是对计算机来说不够效率。如果每次只能串联的进行一次一次的两个数的运算，就没必要大费周章地集成那么多的运算单元了。所以矩阵就是把这些要进行运算的数打包起来，利用矩阵运算的规则一次性处理这些相似的计算。

二、矩阵的加法

矩阵的加法与向量的加法相同，即进行相同位置元素的标量加法即可。不同的只是矩阵中有行列两个维度，两个维度的位置都要匹配上。其实我们有三个不同的维度去看待矩阵的方式，一个是由一堆元素组成的阵列，一个是不同行列向量的排列，还有就是具有两个维度的“向量”。

减法与加法本质上是一样的，只要引入加法零元（具体内容可以参考1.5矩阵的逆），就可以类似相反数一样定义相反矩阵，减去矩阵$A$就是加上$A$的相反矩阵$-A$。

三、矩阵的乘法

介绍矩阵乘法我们可以从向量点乘开始。向量点乘是对应元素相乘，然后求和。一个$1\times n$的矩阵与$n\times 1$的矩阵相乘运算过程就相当于一个行向量与列向量相乘。只是这里的相应元素与向量中相同序列号不同，这里是左边矩阵元素的列数，要对应右边矩阵元素的行数。

进一步，把左边矩阵增加一行，变成2$\times n$。其实运算过程仍然是类似的，不过是把过程重复了一次，用第一行与右边的列向量做"点乘"得到计算结果的第一行第一列的元素，用第二行与右边列向量做“点乘”，得到第二行第一列的元素。可以看到，左边矩阵的行数决定了“点乘”结果的所在行数，右边矩阵的列数决定了“点乘”结果所在列数。

再扩展，就是把右边矩阵增加一列，那就是进行四次运算，左第一行与右边两列分别“点乘”，得到第一行的两个元素，左第二行与右边两列分别“点乘”，得到第二行的两个元素。

至此，矩阵乘法的运算规则就清楚了，对应矩阵乘积$AB=C$，输出矩阵C中第$i$行第$j$列的元素$c_{ij}={\mathbf{a}}_i^T{\mathbf{b}}_j={\sum }^{}$