45、使用高斯混合模型提升HSMM的观测建模能力

使用高斯混合模型提升HSMM的观测建模能力

1 高斯分布的基本概念

在隐半马尔可夫模型（HSMM）中，观测分布的建模至关重要。为了更好地捕捉观测值的复杂分布，高斯分布的混合（Gaussian Mixture Models, GMMs）成为了一种常用且有效的工具。高斯分布，也称为正态分布，是最常见的概率分布之一。其概率密度函数为：

[ p(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ]

其中，$\mu$ 表示均值，$\sigma^2$ 表示方差。高斯分布具有良好的数学性质，便于计算和解析。然而，单一的高斯分布只能很好地描述单峰数据，对于多模态或多峰数据的建模效果不佳。

2 混合高斯模型的定义及参数

为了应对多模态数据的挑战，混合高斯模型（GMM）被引入。GMM是一种将多个高斯分布线性组合而成的概率模型，其概率密度函数可以表示为：

[ p(x|\Theta) = \sum_{k=1}^{K} \pi_k \mathcal{N}(x|\mu_k,\Sigma_k) ]

其中，$\pi_k$ 是第 $k$ 个高斯分量的权重，满足 $\sum_{k=1}^{K} \pi_k = 1$，$\mathcal{N}(x|\mu_k,\Sigma_k)$ 表示第 $k$ 个高斯分量的概率密度函数，$\mu_k$ 和 $\Sigma_k$ 分别是第 $k$ 个高斯分量的均值向量和协方差矩阵。通过调整各个高斯分量的参数，GMM可以灵活地拟合多种形状的分布。

2.1 参数初始化 </