【动态规划】背包问题{更新中}

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原创最新推荐文章于 2026-03-18 01:09:02 发布 256 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

最详细动态规划解析——背包问题 动态规划的定义要解决一个复杂的问题，可以考虑先解决其子问题。这便是典型的递归思想，比如最著名的斐波那契数列，讲递归必举的例子。斐波纳契数列的定义如下：F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）用递归可以很快写出这样一个函数，咋一看真牛逼，几行代码就搞定了int fib(int i) { if(i <= 1) { ret 阅读详情

0-1背包问题

背包问题的产生：鱼与熊掌不可兼得的问题。比如一个软件的功能丰富了，但同样其运行时占用资源和静态软件包的体量也上去了。如何做到有限的资源，价值最大化。

0-1背包问题：对于一堆价值为 $v_{i}$ ，重量为 $w_{i}$ 的物品： $[ (w_{1},v_{1}),(w_{2},v_{2}),(w_{3},v_{3}),...(w_{n},v_{n})]$ ，和一个总承重 $w$ 的背包。如何取舍使得背包总价值最大化。每个物品要么加一件要么不加。

解决方案1：计算性价比 $q_{i} = v_{i}/w_{i}$ ，按排序放入。

缺点：举反例，有一堆按性价比排序后的物品： $[ (5,10),(4,7),(2,3.5),(2,1)]$ ，背包承重 $6$ 。给出的答案是物品1。但是物品2加上物品3的价值是最大的，所以上述方案不满足要求。但注意到，如果背包承重 $5$ ，那么给出的答案就是对的。

解决方案2：考虑分解问题，注意到当物品数量很少，或者背包承重很小时，很容易得出最优解(只能放的下特定物品)。这个思路中有两个变量很小，物品数量 $\small i$ ，承重 $w$ 。因此我们假设对于前 $\small i$ 个物品，和一个总承重 $w$ 的背包，最优解是 $B[i][w] = v_{max}$ 。那么对于前 $(i+1)$ 个物品，和一个总承重 $w$ 的背包，有以下两个情况：

最优解中不包含这个物品：等于背包 $w$ 承重不变，只有前 $i$ 个物品的最优解 $B[i][w]$ 。
最优解中包含这个物品：等于对于前 $i$ 个物品，承重至多为 $w-w_{i}$ 的包的价值最优解 $B[i][w-w_{i}]$ ，以此为基础，又放入了这个物品，得到 $B[i][w-w_{i}]+v_{i}$ （因为前者如果不是最优，我可以找到一个比前者更优的解作为 B[i][w-w_{i}]，然后加入这个物品，得到更优的解，与情况描述矛盾）。

比较两者优劣后，即可得最优解等式： $B[i+1][w] =max(B[i][w] ,B[i][w-w_{i}]+v_{i})$ 。

完全背包问题

完全背包问题的产生：可以认为是数学上对 0-1 问题的拓展。

完全背包问题：物品数量无限，可以不加，也可以加 $n$ 次。

解决方案：思路和 0-1 背包问题是一样的，对于前 $(i+1)$ 个物品，和一个总承重 $w$ 的背包，有以下 $k$ 种情况：

最优解中不包含这个物品：等于背包 $w$ 承重不变，只有前 $i$ 个物品的最优解。
最优解中包含 1 个物品：等于对于前 $i$ 个物品，承重至多为 $w-w_{i}$ 的包的价值最优解，加入了 1 个该物品（因为前者如果不是最优，我可以找到一个比前者更优的解，然后加入这个物品，得到更优的解，矛盾）。
最优解中包含 2 个物品：等于对于前 $i$ 个物品，承重至多为 $w-2*w_{i}$ 的包的价值最优解，加入了 2 个该物品（因为前者如果不是最优，我可以找到一个比前者更优的解，然后加入这个物品，得到更优的解，矛盾）。
最优解中包含 3 个物品：等于对于前 $i$ 个物品，承重至多为 $w-3*w_{i}$ 的包的价值最优解，加入了3 个该物品（因为前者如果不是最优，我可以找到一个比前者更优的解，然后加入这个物品，得到更优的解，矛盾）。
。。。。
最优解中包含 k 个物品：等于对于前 $i$ 个物品，承重至多为 $w-k*w_{i}$ 的包的价值最优解，加入了 k 个该物品（因为前者如果不是最优，我可以找到一个比前者更优的解，然后加入这个物品，得到更优的解，矛盾）。

此时， $k$ 满足方程组 $\left\{ \begin{array}{l} 0\leq w-k*w_{i} \\ 0\geq w-(k+1)*w_{i} \end{array} \right.$ 。可得递推最优解： $B[i+1][w] =max(B[i][w-t*w_{i}]+t*v_{i}) ,0\leq t \leq k$ 。