【算法】动态规划（背包问题，持续更新……）_总额不少于的背包问题-优快云博客

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文章介绍了背包问题的两种经典形式——0-1背包和完全背包，通过动态规划求解物品装入背包以达到最大价值或最小硬币数量。0-1背包中，每种物品仅有一件，而完全背包允许无限数量的同种物品。状态转移方程和优化策略，如一维数组的使用，以及正序或逆序枚举的注意事项，都在解题过程中起到关键作用。

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背包问题

1.0-1背包问题

问题描述：
有n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为c[i]，选取物品放进容量为V的背包，使得背包内物品总价值最大，每件物品只有1件。
解决方法：
令dp[i][v]表示前i件物品恰好装入容量为V的背包所能获得的最大价值。
1.若不放第i件物品，转换为前i-1件物品放入v的最大价值，即dp[i-1][v]。
2.若放第i件物品，转为前i-1件物品放入v-w[i]的最大价值，即dp[i-1][v-w[i]]+c[i]。
状态转移方程：
二维：dp[i][v]=max(dp[i-1][v], dp[i-1][v-w[i]]+c[i]) （w[i]=<v<=V）
注意到，dp[i][v]只和前一个状态i-1有关，因此可以把二维数组变换为一维数组：
一维：dp[v]=max(dp[v], dp[v-w[i]]+c[i]) （w[i]=<v<=V）
使用二维方程时，v的枚举正序逆序都可以，而一维方程的枚举必须是逆序的（从大到小枚举），即

for(int i = 1; i <= n; i++) {
	for(int v = V; v >= w[i];v--) { // 逆序
		// 状态转移方程；
		// 如果是正序的话，dp[i][v]的更新涉及到dp[i-1][v-w[i]]，由于是一维数组，dp[i-1][v-w[i]]已经被更新为dp[i][v-w[i]]，不是我们想要的i-1时的状态，而逆序不会出现这个问题。
	}

例题：
494. 目标和
 474. 一和零

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];

        for(int i = 0; i < strs.length; i++) {
            // 得到0、1数量
            int[] k = get_zero_one(strs[i]);
            for(int v0 = m; v0 >= k[0]; v0--) {
                for(int v1 = n; v1 >= k[1]; v1--) {
                    dp[v0][v1] = Math.max(dp[v0][v1], dp[v0-k[0]][v1-k[1]] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
    int[] get_zero_one(String s) {
        int count[] = new int[2];
        for(int i = 0; i < s.length(); i++) {
            if(s.charAt(i) == '0') {
                count[0]++;
            }else {
                count[1]++;
            }
        }
        return count;
    }
}

2.完全背包问题

问题描述：
有n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为c[i]，选取物品放进容量为V的背包，使得背包内物品总价值最大，每件物品有无数件。
解决方法：
令dp[i][v]表示前i件物品恰好装入容量为V的背包所能获得的最大价值。
1.若不放第i件物品，转换为前i-1件物品放入V的最大价值，即dp[i-1][v]。
2.若放第i件物品，由于可以取无数件物品，转为前i-1件物品放入V-w[i]的最大价值，即dp[i][V-w[i]]+c[i]。
状态转移方程：
dp[i][v]=max(dp[i-1][v], dp[i][v-w[i]]+c[i]) (w[i] =<v<= V)
同样，可以改写为一维：
dp[v] = max(dp[v],dp[v-w[i]]+c[i]) (w[i] =<v<= V)
这里v的枚举必须为正序。因为dp[i][v]和dp[i][V-w[i]]有关，必须先正序算出dp[i][v-w[i]]才能得到dp[i][v]。
例题：
494. 目标和
 322. 零钱兑换

零钱兑换题解：
思路和完全背包问题一样，只是dp定义为前i个硬币金额为v时所需的最少硬币数量，我们可以先定义二维数组dp[i][v]=min(dp[i-1][v], dp[i][v-w[i]]+1)，不选当前硬币，状态为dp[i-1][v]，选择当前硬币，硬币数量多1，状态为dp[i][v-w[i]]+1，取其中的最小值，同样，二维数组可以省略为一维数组，且正序枚举v。
注意点：取最小值因此dp数组初始化时要用一个较大值初始化，当总金额为0时，硬币数量可为0，因此dp[0]=0。

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int[] dp = new int[amount + 1]; // 金额为v所需的最少硬币个数

        Arrays.fill(dp, 10010);
        dp[0] = 0; // 金额为0时最少为0
        for(int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for(int v = coins[i]; v <= amount; v++) {
                dp[v] = Math.min(dp[v], dp[v-coins[i]] + 1);
            }
        }
        if(dp[amount] != 10010) {
            return dp[amount];
        }else {
            return -1;
        }
        
    }
}