【数据分析】单因素方差分析（含MATLAB和Python实现）

1.基本概念

• 试验指标：在试验中要考察的指标，如产品质量等。
• 因素：影响试验指标的条件。包括可控因素和不可控因素。
• 单因素试验：在一项试验中只有一个因素在改变的试验。
• 多因素试验：在一项试验中多于一个因素在改变的试验。
• 水平：因素所处的状态。
• 随机误差：同一水平下，样本各观察值之间的差异，称为随机误差。这种差异可以看成是随机因素的影响。
• 系统误差：不同水平下，各观察值之间的差异。这种差异可能是由于行业本身所造成的，称为系统误差。

2.方差分析的任务

• 检验$s$个总体$N({\mu }_1,{\sigma }^2),...,N({\mu }_s,{\sigma }^2)$的均值是否相等，即检验假设:

$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_1={\mu }_2=...={\mu }_s \\ {H}_1:{\mu }_1,{\mu }_2,...,{\mu }_s不全相等 \end{gathered}$$

• 作出未知参数${\mu }_1,{\mu }_2,...,{\mu }_s,{\sigma }^2$的估计
  总平均:

$$\begin{gathered} \mu =\frac{1}{n}\sum _{j=1}^s{n}_j{\mu }_j \\ n=\sum _{j=1}^s{n}_j \end{gathered}$$

$A_j$下总体平均值与总平均值的差异:
$$\begin{gathered} {\delta }_j={\mu }_j=\mu ,j=1,2,...,s \\ {X}_{ij}={\mu }_j+{ϵ}_{ij},{ϵ}_{ij}N(0,{\sigma }^2) \\ 各{ϵ}_{ij}独立,i=1,2,...,n_j,j=1,2,...,s \\ \Downarrow \\ {X}_{ij}=\mu +{\sigma }_j+{ϵ}_{ij},{ϵ}_{ij}N(0,{\sigma }^2).各{ϵ}_{ij}独立 \\ i=1,2,...,n_j,j=1,2,...,s,\sum _{j=1}^s{n}_j{\delta }_j=0 \end{gathered}$$
因为${\mu }_1={\mu }_2$