二次型及其标准型

最新推荐文章于 2024-06-12 23:46:27 发布
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分类专栏： 高等袋鼠
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/universe_1207/article/details/100630795
本文探讨了二次型的概念，包括非退化线性替换、定义2、合同关系、标准形及其证明。通过初等矩阵和正交替换，解释了如何将二次型转化为标准形，并强调了合同关系下对称矩阵与对角矩阵的联系。同时，阐述了定理1，即数域K上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵，以及二次型秩的概念。

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二次型
欢迎来到关关雎鸠儿的博客
11-06 1万+
二次型理论起源于解析几何中化二次曲线或 二次曲面方程为标准形问题. 这里首先介绍一些 基本概念，然后讨论如何利用可逆线性变换把一 个二次型化成标准形。 二次曲面 二次型及其标准形的概念 定义 含有n个变量x1,x2,...,xnx_{1},x_{2},...,x_{n}x1​,x2​,...,xn​的二次齐次函数 f(x1,x2,...,xn)=a11x12+a22x22+...+annxn2...
线性代数 第七讲 二次型_标准型_规范型_坐标变换_合同_正定二次型详细讲解_重难点题型总结
weixin_62613321的博客
09-09 1万+
线性代数 第七讲 二次型_标准型_规范型_坐标变换_合同_正定二次型详细讲解_重难点题型总结
【考研数学】线性代数第六章 —— 二次型（2，基本定理及二次型标准化方法）
Douglas的博客
10-11 4251
介绍了二次型的一些基本定理，以及化为标准型的两种方法。
速通二次型、二次型标准型、二次型规范型
lxd_max的博客
05-21 5049
把系数换为1或-1（符号依赖于原先是否为正负，即原先为正那么最后系数为1，原先为负，那么最后系数为-1）。OK，再从二次型的标准型的多项式入手，如下，可以看出，标准型就是把未知数都变成平方的样子。（2）特征根法，|λE - A| = 0得二次型标准型。显然，在系数都为实数的情况下，二次型矩阵即为一个。篇幅限制，关于二次型矩阵合同与秩的性质待描述。（1）知二次型，设二次型对称矩阵A，求A。如下，假设λ1为负数，其他λ都为正数。其实就是在二次型的标准型基础上，做。所求的特征根就是对角元素值。
区别：二次型、标准形、规范形
刘鑫磊
10-17 3万+
不含平方：令的时候行列式可逆就行。二次型衔接 合同和相似。
矩阵标准型的系数是特征值吗_高等代数|第五章 二次型二次型及其标准型
weixin_39639286的博客
11-22 4043
当公式或文字展示不完全时，记得向左←滑动哦！本文主要就二次型及其标准型中最基础的概念进行总结归类，这一点是考研中的基础题目，也是一个考研中大家容易忽略的一个板块，有时候容易出现计算错误，大家一定要注意，把这一块练好，希望大家予以重视.定义1.数域K上的一个n元二次型是系数在K中的n个变量的二次齐次多项式，它的一般形式是(1)式也可以写成其中我们把(2)式中的系数按照原来顺序排列成一个n级...
线性代数相似矩阵与二次型二次型化为标准型的方法PPT学习教案.pptx
10-05
在深入研究线性代数这一数学分支时，我们会遇到诸多抽象而复杂的问题，其中相似矩阵与二次型的化为标准型是这一领域的重要组成部分。本篇PPT学习教案详细介绍了这两个概念及其实现方法，旨在帮助学生和专业人士深入...
二次型及其应用.doc
10-06
本文首先对二次型的基本理论进行了介绍，包括二次型的矩阵表示、矩阵的合同关系、二次型的标准型、规型及其性质、正定二次型及其性质等。然后，本文对二次型的实例应用进行了讨论，包括二次型在初等数学中的应用、...
线性代数：二次型
m0_56112405的博客
08-20 3019
此为笔者考研复习拙见，如有错误，望各位读者不惜笔墨不啬赐教，感激不尽！
二次型的标准型、规范型
热门推荐
qq_42578970的博客
05-19 7万+
若二次型只有平方项，则称二次型为标准型 如果标准型中，系数只有1，-1和0，那么称为二次型的规范型 一个二次型的标准型不唯一，规范型唯一。
线性代数｜二次型及其标准形
长行
10-18 1370
线性代数学习笔记
【线性代数】第6章：二次型
m0_60631827的博客
04-25 1777
【线性代数】第6章：二次型（大学期末考试必看）
二次型化标准形的三种方法
大哉数学之为用
04-09 5万+
二次型化标准形的三种方法 将二次型化为标准形有利于我们了解二次型的简单形式、二次型的各种参数如正负惯性指数、得到二次型的规范形、对称矩阵合同的简单形等等。另外，化标准形也是解析几何化简二次曲线和二次曲面的需要。 下面，我们以两道题目为例说明计算二次型的标准形的三种方法： 配方法 合同变换法 特征值法 第一题 例1 计算二次型XTAX=x12+5x22+5x32+2x1x2−4x1x3\disp...
Brunovsky 标准型
XSTX1996的博客
06-17 3141
就是现代控制理论里面的能控标准型。 可以表述为[1]： 也可以表述为（参考《线性系统理论》（郑大钟））： --------- [1] Ngo K B, Mahony R, Jiang Z P. Integrator backstepping using barrier functions for systems with multiple state constraint...
c++求矩阵的秩_【教学笔记】线性代数 | 第四章 相似矩阵与二次型 要点掌握
weixin_39578197的博客
11-22 623
【相似矩阵要点总结】其实整个相似矩阵的重点就在以下四张图里，算法涉及到三阶带参行列式的求解、初等行变换求解方程组、和施密特正交化，只是这一章我们新学了很多概念和知识点，需要在不同的情境下去使用这个算法。1. 特征值与特征向量的定义、计算及重要定理这部分的要点主要是为了引出后面相似变换中要用到的一些定理，我们在课堂上讲了四五个定理，但是最重要的就是上图中显示的那两条。第一，互不相同的特征值...
【线性代数】第七章-二次型
hiliang521的博客
06-12 4960
【线性代数】第七章-二次型
【线性代数】四、二次型
weixin_45434953的博客
11-12 6796
如果系数a全为实数，那么为实二次型。上述二次型展开式可表示用矩阵为可以看出，二次型矩阵A是一个，也就是满足A=A，一个实对称矩阵对应的则是一个实二次型。一个二次型有多种写法，也有多个展开式，但是二次型矩阵是唯一的，各个等价的二次型展开式能够化为同一个二次型矩阵。
二次型及其矩阵
黑脚印 DarkSpoor
01-27 2万+
二次型定义1： 称为n元二次型，简称为二次型。 定义2： 只含平方项的二次型，即形如 称为二次型的标准形（或法式）。 二次型的矩阵表示法： 二次型的矩阵是实对称阵。 定义3： 二次型经可逆变换后的矩阵： 定义4：若线性变换 可逆，则称线性变换为可逆线性变换； 定义5： 定理：实对称矩阵一定与对角阵合同。 定理1： ...
matlab二次型化为标准型
最新发布
04-17
### 将二次型化为标准型的 MATLAB 实现 在 MATLAB 中，可以通过特征值分解的方法将二次型转化为标准型。以下是具体的过程以及相应的代码示例： #### 1. 构造二次型矩阵 给定一个二次型 \( Q(x) = X^TAX \)，其中 \( A \) 是对称矩阵，\( X \) 是变量向量。首先需要构建对应的对称矩阵 \( A \)[^1]。 ```matlab % 定义二次型系数矩阵A A = [a11, a12, ..., a1n; a21, a22, ..., a2n; ... an1, an2, ..., ann]; ``` #### 2. 特征值分解 通过 `eig` 函数计算矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量[^2]。这一步骤用于寻找正交变换矩阵 \( P \) 和对角阵 \( \Lambda \)，使得 \( A = P\Lambda P^{-1} \) 或者更简单地表示为 \( A = PDP' \)（因为 \( P \) 正交）。 ```matlab [V, D] = eig(A); ``` 这里，`V` 表示特征向量组成的矩阵，而 `D` 则是对角矩阵，其对角元即为 \( A \) 的特征值。 #### 3. 变换至标准型 令新的坐标系下的变量为 \( Y = V'^{-1}X \)，则原二次型可以写成如下形式的标准型： \[ Q(Y) = Y^TDY = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + ... + d_ny_n^2 \] 其中 \( d_i \) 即为矩阵 \( A \) 的第 \( i \) 个特征值。 ```matlab syms y1 y2 yn real; % 定义新变量 Y = [y1; y2; ... ; yn]; % 新的二次型表达式 Q_standard = Y'*D*Y; simplify(Q_standard); % 简化得到最终结果 disp('标准化后的二次型:'); disp(Q_standard); ``` 以上就是完整的流程说明及其对应的部分代码片段展示。 #### 注意事项 - 如果输入矩阵并非严格意义上的实对称矩阵，则需先将其转置部分平均处理后再继续后续操作。 - 对于数值稳定性较高的情况建议采用奇异值分解(SVD)替代传统意义上基于特征值的方式完成转换过程。
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