88、布尔可满足性问题（SAT）的分层硬度模型研究

布尔可满足性问题（SAT）的分层硬度模型研究

1. 线性函数参数拟合与经验硬度模型

在研究中，使用岭回归来拟合线性函数 $f_w(x_i) = w^T\varphi(x_i)$ 的自由参数 $w$。具体计算方式为 $w = (\delta I + \Phi^T\Phi)^{-1}\Phi^T\tilde{y}$，其中 $\tilde{y} = (\tilde{y}_1, \ldots, \tilde{y}_n)$，且 $\tilde{y}_i = \log y_i$，这里的 $y_i$ 是运行时间。$n \times d$ 矩阵 $\Phi$ 包含所有训练实例的特征值，$\delta$ 是一个小的正则化常数，用于防止 $w$ 中的参数值过大，并提高数值稳定性。对于新的、未见过的实例 $j$，通过计算其特征 $x_j$ 并计算 $f_w(x_j) = w^T\varphi(x_j)$ 来进行运行时间预测。

经验硬度模型具有概率解释。将特征 $x$ 和经验算法运行时间 $y$ 视为随机变量时，它们的关系可以用以下图形模型表示：

graph LR
    x --> y

在这个模型中，观察到特征向量 $x$，运行时间 $y$ 的概率分布条件依赖于 $x$。由于使用最小二乘法训练线性模型，因此隐含地选择将 $P(y|x)$ 表示为均值为 $w^T\varphi(x)$ 且具有固定方差 $\beta$ 的高斯分布。所谓的经验硬度模型预测实际上是 $E(y|x)$，即基于观察到的特征向量的该分布的均值。

2. 实验设置

为了进行实验，选择了两