32、数值松弛、离散化、求解器与波传播特性分析

数值松弛、离散化、求解器与波传播特性分析

1. 多网格方法与作业问题概述

多网格方法的计算效率在很大程度上依赖于平滑器的并行实现以及粗网格上系统的求解。现代多网格实现会利用处理器的内存层次结构，特别是二级和一级缓存。明尼苏达大学的免费C/MPI软件包ParMGridGen能生成适合多网格算法的最优粗网格序列。

1.1 作业问题列表

序号	问题描述
1	使用冯·诺伊曼分析证明蛙跳时间差分与中心差分结合对 $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 进行离散化会导致不稳定格式，并使用等效微分方程的启发式论证验证结果。
2	编写C++代码实现DuFort–Frankel格式求解 $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$，$x \in [-1, 1]$，考虑 $N = 20$ 和 $N = 40$ 的两个网格，将解推进到 $t = 1$，分别使用恒定扩散数 $D$ 和与 $\Delta x$ 线性缩放的时间步长 $\Delta t$，观察结果。
3	证明在狄利克雷边界条件下，通过二阶中心差分得到的一维扩散矩阵的特征值为 $\la