27、松弛：离散化与求解器

松弛：离散化与求解器

在解决混合初值/边值问题（IVP/BVP）时，离散化和迭代求解器是关键步骤。本文将介绍相关的离散化方法、迭代求解器，并着重探讨并行计算的应用。同时，会引入非稳态扩散的离散模型，分析其精度和稳定性。

1. 离散化与迭代求解器概述

在处理混合初值/边值问题时，离散化是将连续问题转化为离散问题的重要手段。而与之相关的松弛迭代求解器则用于求解离散化后的方程。迭代过程与演化方程（特别是抛物型扩散方程）的类比在约两个世纪前就已被认识到，但直到20世纪50年代中期才建立起严格的联系。

在并行计算方面，我们追求的不仅是收敛速度快的算法，还希望算法具有良好的并行性。例如，雅可比算法曾被高斯 - 赛德尔算法取代，但由于其易于并行化，在过去二十年中又被重新发现，如今主要用作多重网格方法的预条件器。而高斯 - 赛德尔算法在串行计算机上速度较快，但除非采用特殊的多色算法，否则难以并行化。

此外，还引入了三个新的MPI命令：MPI Gather、MPI Allgather和MPI Scatter。MPI Gather和MPI Allgather用于从多个进程收集信息，MPI Scatter用于将数据从一个进程分发到多个进程。同时，还会介绍这些收集函数在雅可比方法并行实现中的应用。

2. 非稳态扩散的离散模型

为了模拟系统向平衡态的松弛过程，引入非稳态扩散的物理过程。考虑一维抛物型方程：
[
\begin{cases}
\frac{\partial \Theta}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 \Theta}{\partial x^2}, &