硬币划分问题

硬币划分问题

硬币划分问题应该是最最经典的一类组合数学的问题，问题如下：

要给人家10块钱，手里有很多1元，2元，5元和10元的硬币，问有多少种方法？

虽说没有2元5元10元的硬币，不过也没说是RMB呀。怎么办呢，小学生说好我来设未知数，于是写下了$a+2b+5c+10d=10$，然后写了一句，求出其解的个数即可。唔，我服！

于是小学生开始了列举，而我默默打开了Mathematica，唔，不定方程又称丢潘图方程（Diophantine Equations）所以，找到了Frobenius Equations。

A Frobenius equation is an equation of the form

$\sum_{i=1}^n{a_ix_i=}m$

where $a_i$ are positive integers, m is an integer, and the coordinates $x_i$ of solutions are required to be non-negative integers.

于是一共有11种。

那和这题有什么关系吗？还是不会做。

等等，如果我们没有很多钱呢，如果每种钱只有3张，那么穷举一下也不怎么费劲吧，试试看。

1元：0，1，2，3

2元：0，2，4，6

5元：0，5 ，10，15

10元：0，10，20，30

随意组合的话一共有$4^4=256$种欸。话说这种组合是把每个的情况数相乘，感觉和多项式相乘有点像，每个都乘起来，用多项式表示试试？幂表示能凑的数，系数表示能凑多少。乘起来的话，幂正好是相加的，然后系数也是不同凑的方法加起来，简直棒啊。

1元：1+x+x2+