硬币问题（瓜子网二手车试题）

硬币问题（瓜子网二手车试题）

有1分，2分，5分，10分四种硬币，每种硬币数量无限，给定n分钱(n <= 100000)，有多少中组合可以组成n分钱？

我只知道使用多重for循环进行暴力求解，效率很低，数字高了后算不出来。

答案中提供了一个很巧妙的方法。但我看不懂。

几经钻研后，搞懂了。主要参考了这篇文章。

# python3
def change(coins, n):
    len1 = len(coins)
    if len1 == 0 and n < 1 or n > 100000:
        return None
    ways = [0] * (n + 1)  # 初始化
    ways[0] = 1
    for i in range(len1):
        for j in range(coins[i], n + 1):
            # 保证n小于等于100000，为了防止溢出，请将答案Mod 1000000007
            ways[j] = (ways[j] + ways[j - coins[i]]) % 1000000007
    print(ways[n])
  
if __name__ == '__main__':
    coins, n = [1, 2, 5, 10], int(input())
    change(coins, n)

我们应该都还记得迈台阶问题。一次性可以迈1-2阶，递推关系如下。

F(N)=F(N-1)+F(N-2)

那么对于硬币问题，也可以视为一次增加1，2，5，10级台阶，最终凑到n阶就可了。

那么是否有：

F(N)=F(N-1)+F(N-2)+F(N-5)+F(10)呢?

当然不是。例如在N-5级台阶的时候，此时到N的方法显然不止一种。甚至可以说是有多种的。因而，也应该要把F(6)等给算上。

因为可以选择的情况太多了，导致上面这种简单的递推关系式就不成立了。

因而我们尝试让任何时候都只有两个选择。从简单的两种硬币1，2开始。

此时显然有：

F(N)=F(N-1)+F(N-2)

F（1）=1

如果只使用硬币1

F(N)=F(N)+F1(N-1)

其中F1是使用当前所有类型的硬币的数目。

如果同时使用2

F(N)=F(N)+F1(N-1)

+F2(N-2)

其中F1来自硬币1，F2来自硬币2

此时如果把硬币5加上。

F(N)=F1(N)+F2（N-5）

每一个点N可以如此构成，只含1的方法个数，只含1，2的方法个数，125方法个数，12510方法个数。

对任何一个F（N）只含一的方法个数一定是1。

含有2的方法个数就是从第一个可以被2更新的点3，每个点F（N）+=F（N-1）

最终还是发现问题描述不清楚。。。该死的。算了。