MATLAB 数学应用 微分方程 时滞微分方程 具有常时滞的DDE

本文讲述了如何使用 dde23 对具有常时滞的DDE（时滞微分方程）方程组求解。

方程组为：

$y_1^{\prime }(t)=y_1(t-1)$

$y_2^{\prime }(t)=y_1(t-1)+y_2(t-0.2)$

$y_3^{\prime }(t)=y_2(t)$.

t≤0 的历史解函数是常量 $y_1(t)=y_2(t)=y_3(t)=1$。

方程中的时滞仅存在于 y 项中，并且时滞本身是常量，因此各方程构成常时滞方程组。

要在 MATLAB 中求解此方程组，您需要先编写方程组、时滞和历史解的代码，然后再调用时滞微分方程求解器 dde23，该求解器适用于具有常时滞的方程组。您可以将所需的函数作为局部函数包含在文件末尾，或者将它们作为单独的命名文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

编写时滞代码

首先，创建一个向量来定义方程组中的时滞。此方程组有两种不同时滞：

• 在第一个分量 $y_1(t-1)$ 中时滞为 1。
• 在第二个分量 $y_2(t-0.2)$ 中时滞为 0.2。

dde23 接受时滞的向量参数，其中每个元素是一个分量的常时滞。

lags = [1 0.2];

编写方程代码

现在，创建一个函数来编写方程的代码。此函数应具有签名 dydt = ddefun(t,y,Z)，其中：

t 是时间（自变量）。

y 是解（因变量）。

Z(:,j) 用于逼近时滞 $y(t-{\tau }_j)$，其中常时滞 ${\tau }_j$ 由 lags(j) 给定。

求解器会自动将这些输入传递给该函数，但是变量名称决定如何编写方程代码。在这种情况下：

• $Z(:,1)\to y_1(t-1)$
• $Z(:,2)\to y_2(t-0.2)$

function dydt = ddefun(t,y,Z)
  ylag1 = Z(:,1);
  ylag2 = Z(:,2);

  dydt = [ylag1(1); 
          ylag1(1)+ylag2(2); 
          y(2)];
end

注意：所有函数都作为局部函数包含在示例的末尾。

编写历史解代码

接下来，创建一个函数来定义历史解。历史解是时间 $t\le t_0$ 的解。

function s = history(t)
  s = ones(3,1);
end

求解方程

最后，定义积分区间 $[t_0{t}_f]$ 并使用 dde23 求解器对 DDE 求解。

tspan = [0 5];
sol = dde23(@ddefun, lags, @history, tspan);

对解进行绘图

解结构体 sol 具有字段 sol.x 和 sol.y，这两个字段包含求解器在这些时间点所用的内部时间步和对应的解。（如果您需要在特定点的解，可以使用 deval 来计算在特定点的解。）

绘制三个解分量对时间的图。

plot(sol.x,sol.y,'-o')
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y');
legend('y_1','y_2','y_3','Location','NorthWest');

局部函数

此处列出了 DDE 求解器 dde23 为计算解而调用的局部辅助函数。您也可以将这些函数作为它们自己的文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

function dydt = ddefun(t,y,Z) % equation being solved
  ylag1 = Z(:,1);
  ylag2 = Z(:,2);

  dydt = [ylag1(1); 
          ylag1(1)+ylag2(2); 
          y(2)];
end
%-------------------------------------------
function s = history(t) % history function for t <= 0
  s = ones(3,1);
end
%-------------------------------------------