[SMOJ1774]种植玉米

题目描述

农夫有一个被划分成 $M$ 行 $N$ 列的农田。每个格子的数字如果是 1 则表示该格子的土地是肥沃的，可以种植玉米；如果该格子的数字是 0 则表示该格子不能种植玉米。但是还有一个条件：不能出现相邻的两个格子都种植玉米的情况。问有多少种不同的种植方式。

输入格式 1774.in

第一行，两个整数，$M$ 和 $N$。 $1 \leq M \leq 12$ 且 $1 \leq N \leq 12$。
接下来是 $M$ 行 $N$ 列的农田，第 $i$ 行第 $j$ 列的数字要么是 1 要么是 0 。

输出格式 1774.out

一个整数。答案模 100000000。

输入样例 1774.in

2 3
1 1 1
0 1 0

输出样例 1774.out

9

【样例解释】

不妨设可以种植玉米的格子的编号如下图所示：

0 个格子种植玉米的，有 1 方案。
1 个格子种植玉米的，有 4 种方案，分别是：格子 1 或者 格子 2 或者 格子 3 格子 4。
2 个格子种植玉米的，有 3 种方案，分别是： (格子 1 和 3) 、(格子 1 和 4)、(格子 3 和 4)。
3 个格子种植玉米的，有 1 种方案： (格子 1 和 3 和 4)

所以总的方案数 = 1 + 4+ 3+ 1 = 9

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这题是相对而言比较简单的状压 dp，而且它的特征比较明显，很容易想到。

种玉米，无非是种或不种，那么每一行的状态就可以用二进制表示。于是我们可以设 $f[i][state]$ 表示前 $i$ 行，第 $i$ 行种成 $state$ 这种状态的方案总数。
那么有

$$f[i][nowState] = \sum f[i-1][oldState] \; \text{while} \; oldState \; \text{and} \; nowState \; \text{are legal}$$

状态转移的时候，要判断方案是否合法，这题有几个限制，我们来逐一考虑一下。

首先，每个格子本身的性质是确定的。无论如何，有些格子就是没有办法耕种。这个限制可以预处理一下，把第 $i$ 行的限制表示为 $limit_i$，它是一个二进制状态。假如说我们现在要把第 $i$ 行耕种为一种状态 $state$，那么判断一下

$$state \cap limit_i = state$$ 就可以了。因为不允许种的格子表示为 0，取并集之后不可能还等于 $state$；反之如果 $state$ 里要种的 1 都能种，取并集之后还是等于 $state$。

接着是相邻的两个格子不能都种。注意这个“相邻”意味很深啊，既可以是行相邻也可以是列相邻。
列相邻的情况容易判断，对于某种状态 $state$，如果

$$state \cap (state << 1)$$ 不为 0，也就是原状态与其左移一位的状态有重合（意味着原状态中存在相邻的两列都耕种），那么这种方案是不合法的。
对于行相邻的情况，在状态转移的时候，确定了上一行的状态 $oldState$ 和当前行状态 $nowState$ 之后，它们的对应位上不能都有 1，只要判断一下 $$oldState \cap state$$ 是否为 0 即可。

时间复杂度为 $O(m^2\times 2^n\times2^n)$。

参考代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int mod = 1e8;
const int maxn = 15;

int m, n;
int limit[maxn]; //limit[i] 为第 i 行的土地性质限制
int dp[maxn][1 << maxn]; //dp[i][state] 为种完前 i 行且第 i 行状态为 state 的方案数

int main(void) {
    freopen("1774.in", "r", stdin);
    freopen("1774.out", "w", stdout);

    scanf("%d%d", &m, &n);
    for (int i = 0; i < m; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            int t;
            scanf("%d", &t);
            limit[i] = (limit[i] << 1) | t;
        }

    int upperLim = 1 << n;
    for (int i = 0; i < upperLim; i++) //初始化，第一行无需受到上一行的影响
        if (!(i & (i << 1)) && (i & limit[0]) == i) dp[0][i] = 1;

    for (int i = 1; i < m; i++)
        for (int j = 0; j < upperLim; j++) //第 i 行种成状态 j
            if (!(j & (j << 1)) && (j & limit[i]) == j) //不能有相邻两列同时种，且受到土地本身限制
                for (int k = 0; k < upperLim; k++) //第 i - 1 行为状态 k
                    if (!(j & k)) (dp[i][j] += dp[i - 1][k]) %= mod; //相邻两行不能有同一列同时种

    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < upperLim; i++) (ans += dp[m - 1][i]) %= mod;

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}