冲激信号和阶跃信号的傅里叶变换

1. 冲激函数

$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)e^{-j\omega t}dt=1$

$\bullet \delta (t)看作\tau \ast \frac{1}{\tau }$的矩形脉冲（傅里叶变换是Sa函数），$\tau \to 0$时，$B_{\omega }\to \infty$（零点趋于无穷）
$\bullet$冲激函数积分是有限值，可以用公式求
$\bullet$而u(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求
对称性质：
冲激信号的傅里叶变换是直流信号
直流信号的傅里叶变换是冲激信号

2. 冲激偶的傅里叶变换

冲激偶：${\delta }^{{}^{\prime }}(t)=\frac{d\delta (t)}{dt}$, 即对冲激信号进行求导
其中${\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{{}^{\prime }}(t)dt=0,{\int }_{-t_0}^0{\delta }^{{}^{\prime }}(t)dt=\infty ,{\int }_0^{t_0}{\delta }^{{}^{\prime }}(t)dt=-\infty$
是无限接近0时刻的上下两个冲激信号,但不能单纯认为就是上下的两个冲激信号

$\because {\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{{}^{\prime }}(t)dt=-f^{{}^{\prime }}(0)$
$\therefore F[{\delta }^{{}^{\prime }}(t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{{}^{\prime }}(t)e^{-j\omega t}dt$
$=-[e^{-j\omega t}{]}^{{}^{\prime }}{|}_{t=0}=-(-j\omega )=j\omega$

3. 单位阶跃函数

$u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)$

积分是线性运算,符合叠加性