信号频谱 | 幅度谱 / 相位谱 / 能量谱 / 功率谱

注：本文为 “信号频谱 | 幅度谱 / 相位谱 / 能量谱 / 功率谱” 相关文章合辑。

对第一篇原文略作重排。

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信号频谱、幅度谱、相位谱及能量谱密度、功率谱密度

posted @ iliveido 2013-03-22 23:52

谱的英文原词为 “spectrum”，最初认为其类似于函数图象，但此理解并不准确。信号是时间的函数，然而不能简单将信号称作谱。实际上，谱是函数图像中的特定一类。提及谱，必然与频率相关，本文的创作源于对 Parseval 恒等式的好奇。

spectrum [ˈspektrəm]
n. 范围，幅度；光谱；波谱，频谱；余象

Parseval 恒等式是傅里叶变换的重要性质。傅里叶变换将信号从时域或空域转换到频域，进而产生频谱。由于这种变换，谱与频率之间存在着紧密的内在联系。

尽管本文旨在科普，但仍应具备理科文章的简洁性。老师曾指出，Parseval 恒等式的直观意义（ intuitive sense）在于：傅里叶变换前后，原信号与频谱之间能量守恒。傅里叶变换后的频谱保留了原信号的全部信息，且傅里叶变换是可逆的，即一一对应关系。

此外，还有一个关于傅里叶变换的重要事实：高斯分布的密度函数 $e^{-\frac{x^2}{2}}$ 是唯一的傅里叶变换不变函数。高斯密度函数的一阶导数与哺乳动物视觉感知系统主视皮层简单细胞的感受野（cortical receptive field）结构相似。在泛函分析中，当 $\sigma \to \infty$ 时，高斯密度函数的极限是 delta - dirac 函数 $\delta (x)$，即脉冲函数。在大学一年级数学分析课程中，高斯密度函数的积分为 $\sqrt{\pi }$。综上所述，高斯分布具有众多非常完美的性质。

回到主题，信号经傅里叶变换后产生频谱，频谱是以频率为自变量的函数。频谱在每个频率点的取值为复数，而复数由模和辐角唯一确定，即 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ 。因此，可将频谱分解为幅度谱（即复数的模关于频率的函数）和相位谱（即复数的辐角关于频率的函数）。

接下来探讨能量谱密度（energy spectral density）和功率谱密度（power spectral density）。起初以为 “energy” 和 “power” 都表示能量，实则 “power” 意为功率。在阐述这两个谱密度之前，先明确幅度的概念。

在英语中，“幅度” 有 “amplitude” 和 “magnitude” 两个词。在大多数情况下（包括本文），二者含义相同，仅在特定领域（如物理领域）存在差异：“amplitude” 表示整个信号偏离 $x$ 轴的最大绝对值，“magnitude” 表示信号上某一点偏离 $x$ 轴的绝对值。更详细的 阐述 如下：

peak amplitude, often shortened to amplitude, is the nonnegative value of the waveform’s peak (either positive or
negative).
peak amplitude，常简称为 amplitude，是波形峰值（正或负）的非负值。
 
instantaneous amplitude of $x$ is the value of $x(t)$ (either positive or negative) at time $t$.
instantaneous amplitude of $x$ 是 $x(t)$ 在时间 $t$ 的值（正或负）。
 
instantaneous magnitude, or simply magnitude, of $x$ is nonnegative and is given by $|x(t)|$.
instantaneous magnitude，或简称为magnitude，是 $x$ 的非负值，由 $|x(t)|$ 给出。

由此可见，“amplitude” 是全局概念，“magnitude” 是瞬时概念。在讨论 FFT 和 wavelets 时，通常将 “amplitude” 和 “magnitude” 视为同一概念，即瞬时幅度。

信号 $f(t)$ 在 $t$ 处的瞬时幅度为 $f(t)$ 的模，即 $|f(t)|$；信号 $f(t)$ 在 $t$ 处的瞬时相位为 $f(t)$ 的辐角，即 $Argf(t)$ 或 $\angle f(t)$；信号 $f(t)$ 在 $t$ 处的瞬时功率为 $f(t)$ 的模的平方，即 $|f(t){|}^2$ 。

信号的能量是全局概念，是瞬时功率的积分值，即：

∣ ∣ f ( t ) ∣ ∣ 2 = ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ 2 d