孟岩 | 理解矩阵

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孟岩 | 《理解矩阵》

文 / 孟岩

2006.04

1. 前言

线性代数课程，无论从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着难以理解的内容。例如，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济版线性代数教材（目前已更新至第四版），开篇即介绍逆序数这一“前无古人，后无来者”的特殊概念，随后利用逆序数给出行列式一个极不直观的定义，紧接着是一些看似繁琐的行列式性质和习题——将某行乘以一个系数加到另一行，再将某列减去另一列，操作虽多，却完全看不出其用途。大多数如我一样资质平庸的学生在此处会感到困惑：连对象本身的概念都模糊不清，就开始进行复杂的推导演练，这未免过于“难以理解”。于是有人开始逃课，更多人开始抄作业。这会导致学习受阻，因为后续内容的发展可用“峰回路转”来形容，紧跟这个难以理解的行列式之后，一个同样难以理解但意义重大的概念登场——矩阵！多年以后我才意识到，当老师用中括号将一组数括起来，不紧不慢地说“这个东西叫做矩阵”时，我的数学生涯开启了一段充满挑战与艰辛的历程。自此之后，在几乎所有与“学问”稍有关联的领域中，矩阵从未缺席。对于我这个未能一次掌握线性代数的人而言，矩阵的频繁出现常常让我陷入困境。长期以来，我在阅读中见到矩阵，便如同阿Q见到假洋鬼子，只能绕道而行。

事实上，我并非特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难，这种情况在国内外皆然。瑞典数学家 Lars Garding 在其名著《Encounter with Mathematics》中提到：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”然而，“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，……这就带来了教学上的困难。” 事实上，当我们开始学习线性代数时，不知不觉已进入“第二代数学模型”的范畴，这意味着数学的表述方式和抽象性发生了一次全面的跃升。对于从小在“第一代数学模型”（即以实用为导向的具体数学模型）中学习的我们而言，在未被明确告知的情况下经历如此剧烈的范式转变（paradigm shift），感到困难并不奇怪。

大部分工科学生往往是在学习了后续课程（如数值分析、数学规划、矩阵论等）之后，才逐渐理解并熟练运用线性代数。即便如此，不少人即便能熟练以线性代数为工具开展科研和应用工作，对初学者提出的一些看似基础的问题仍无法清晰解答。例如：

矩阵究竟是什么？ 向量可被视为具有 n 个相互独立性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？若认为矩阵是一组列（行）向量组成的复合向量的展开式，为何这种展开式应用如此广泛？特别是，为何二维展开式如此有用？若矩阵中每个元素又是一个向量，进一步展开为三维立方阵，是否会更有用？
矩阵的乘法规则为何如此规定？ 为何这种看似特殊的乘法规则能在实践中发挥巨大功效？许多看似无关的问题最终都归结到矩阵乘法，这难道不奇妙吗？矩阵乘法规则背后是否蕴含着世界的某些本质规律？若是，这些本质规律是什么？
行列式究竟是什么？ 为何有如此特殊的计算规则？行列式与其对应方阵的本质关系是什么？为何只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵没有（这并非愚蠢的问题，若有必要，为 m×n 矩阵定义行列式并非不可行，之所以不做，是因为无此必要，但为何无此必要）？此外，行列式的计算规则与矩阵的其他计算规则看似无直观联系，却在诸多方面决定矩阵的性质，这难道仅是巧合？
矩阵为何可以分块计算？ 分块计算看似随意，为何可行？
对于矩阵转置运算 $A^T$ ，有 $AB)^T = B^T A^T$ ；对于矩阵求逆运算 $A^{-1}$ ，有 $AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ 。两种看似无关的运算为何具有类似性质？这仅是巧合吗？
为何说 $P^{-1}AP$ 得到的矩阵与 $A$ 矩阵“相似”？ 这里的“相似”是什么意思？
特征值和特征向量的本质是什么？ 它们的定义令人惊讶： $\lambda x$ ，一个庞大矩阵的作用竟相当于一个数 $\lambda$ ，确实奇妙。但为何用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻画的究竟是什么？

这类问题常常让使用线性代数多年的人感到为难。如同大人面对小孩子的刨根问底，最终只能说“就这样吧，到此为止”，面对这些问题，许多老手最后也只能以“就是这样规定的，接受并记住即可”搪塞。然而，若这些问题无法得到解答，线性代数对我们而言就成了一套粗暴、不讲道理、难以理解的规则集合。我们会觉得自己并非在学习一门学问，而是被强行带入一个陌生的世界，在考试的压力下被迫前行，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年后，我们虽发现这门学问极具用途，却仍会困惑：为何如此巧合？

我认为，这是线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述涉及“如何能”“怎么会”的问题，仅通过纯粹的数学证明无法令提问者满意。例如，即便通过一般证明方法论证了矩阵分块运算可行，也无法消除提问者的疑惑。他们真正困惑的是：矩阵分块运算为何可行？仅是巧合，还是由矩阵的某种本质决定？若是后者，矩阵的这些本质是什么？稍加思考便会发现，这些问题无法单纯依靠数学证明解决。正如我们的教科书，凡事依赖数学证明，最终培养出的学生只能熟练使用工具，却缺乏真正的理解。

自 20 世纪 30 年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述取得了巨大成功，这使我们接受的数学教育在严谨性上大幅提升。然而，数学公理化一个备受争议的副作用是，一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性相互矛盾，因此毫不犹豫地牺牲前者。但包括我在内的许多人对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定矛盾，尤其在数学教育和教材中，帮助学生建立直觉有助于他们理解抽象概念，进而理解数学本质。反之，若一味注重形式上的严格性，学生就会像被迫钻火圈的小白鼠，成为枯燥规则的奴隶。

对于线性代数中类似上述的直觉性问题，两年多来我断断续续思考了四、五次，为此阅读了多本国内外线性代数、数值分析、代数及数学通论书籍，其中前苏联名著**《数学：它的内容、方法和意义》**、龚昇教授的《线性代数五讲》、前文提到的《Encounter with Mathematics》（《数学概观》）以及 Thomas A. Garrity 的《数学拾遗》都给了我很大启发。即便如此，我对这一主题的认识仍经历了多次自我否定。例如，以前思考的一些结论曾写在自己的博客中，但现在看来基本都是错误的。因此，我打算将目前的理解完整记录下来，一方面是因为我认为现在的理解较为成熟，可与他人探讨、请教；另一方面，若以后有进一步认识并推翻现有理解，现在的记录也具有意义。

由于内容较多，会分几次慢慢写。不确定是否有时间写完，也可能中断，姑且尝试。

2. 核心概念

今天先谈谈对线性空间和矩阵的几个核心概念的理解。以下内容多基于个人理解，基本不照搬书籍，可能存在错误，希望能被指出。但我希望做到直观，即阐述数学背后的实质问题。

2.1 空间

首先说说空间（space），这是现代数学的核心概念之一。从拓扑空间开始，逐步增加定义，可以形成多种空间。线性空间其实较为初级，若在其中定义范数，就成为赋范线性空间；赋范线性空间满足完备性，则成为巴拿赫空间；在赋范线性空间中定义角度，可得到内积空间；内积空间满足完备性，便得到希尔伯特空间。

总之，空间有多种类型。查看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在该集合上定义某概念，且满足某些性质”，即可称为空间。这看似奇怪，为何用“空间”称呼这类集合？后文会说明，这其实很合理。

我们最熟悉的空间无疑是生活其中的（按牛顿绝对时空观）三维空间，从数学角度看，这是三维欧几里德空间。暂不深入，先看看这一空间的基本特点：

由无穷多个位置点组成；（空间的基础）
点之间存在相对关系；（空间的基础）
可在空间中定义长度、角度；（其他空间未必具备）
该空间可容纳运动，此处的运动指从一个点到另一个点的移动（变换），而非微积分意义上的“连续”运动（空间的本质）

上述性质中，最关键的是第 4 条。第 1、2 条仅是空间的基础，并非空间特有性质——讨论数学问题时，通常都需要一个集合，且多数需在集合上定义一些结构（关系），但不能因此称其为空间。第 3 条过于特殊，其他空间无需具备，并非关键性质。只有第 4 条是空间的本质，即容纳运动是空间的本质特征。

认识到这一点，我们可将对三维空间的认识扩展到其他空间。事实上，任何空间都必须容纳和支持符合规则的运动（变换）。某种空间中往往存在对应的变换，例如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，这些变换其实只是对应空间中允许的运动形式。

因此，只需明确：“空间”是容纳运动的对象集合，而变换规定了对应空间的运动形式。

2.2 线性空间

下面看线性空间。线性空间的定义在任何教材中都能找到，但既然承认线性空间是空间，就必须先解决两个基本问题：

空间是对象集合，线性空间作为空间，也是对象集合。那么线性空间是何种对象的集合？或者说，线性空间中的对象有何共同点？
线性空间中的运动如何表述？即线性变换如何表示？

先回答第一个问题，答案很直接：线性空间中的任何对象，通过选取基和坐标，都可表达为向量形式。 常见的向量空间无需多言，举两个较特殊的例子：

L1. 最高次项不大于 n 次的多项式的全体构成线性空间，即该空间中的每个对象是一个多项式。若以 $x^0, x^1, \ldots, x^n$ 为基，则任何这样的多项式都可表示为 n+1 维向量，其中每个分量 $a_i$ 是多项式中 $x^{i-1}$ 项的系数。需说明的是，基的选取有多种方式，只要所选基线性无关即可（后文会涉及相关概念，此处暂不展开）。

L2. 闭区间 $[a, b]$ 上的 n 阶连续可微函数的全体构成线性空间，即该空间中的每个对象是一个连续函数。根据魏尔斯特拉斯定理，该空间中任何连续函数都可找到最高次项不大于 n 的多项式函数，使其与该连续函数的差为 0（即完全相等），由此可将问题归结为 L1，此处不再赘述。

因此，向量的作用强大，只要找到合适的基，向量可表示线性空间中的任何对象。这其中蕴含深意：向量表面是一列数，但因其有序性，除数本身的信息外，每个数的对应位置还可携带额外信息。程序设计中数组虽简单却威力无穷，根本原因正在于此（此处不展开讨论）。

2.3 线性变换

下面回答第二个问题，这涉及线性代数的一个根本问题。

线性空间中的运动称为线性变换，即从线性空间中的一个点到另一个点的移动可通过线性变换实现。那么，线性变换如何表示？有趣的是，在线性空间中选定一组基后，不仅可用向量描述空间中的任何对象，还可用矩阵描述该空间中的任何运动（变换）。使某个对象发生对应运动的方法，是用代表该运动的矩阵乘以代表该对象的向量。

简而言之，在线性空间中选定基后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，矩阵与向量的乘法实现运动的施加。

是的，矩阵的本质是对运动的描述。若有人问矩阵是什么，可明确回答：矩阵的本质是运动的描述。（chensh，说的就是你！）

但向量本身也可看作 n×1 矩阵，这很奇妙——一个空间中的对象和运动竟可用类似方式表示。这是巧合吗？若真是巧合，那也是幸运的巧合！线性代数中许多奇妙性质都与此直接相关。

或许有数学系的读者会提出质疑，因为“运动”在数学和物理中常与微积分关联。学习微积分时，常有人说：初等数学研究常量、静态，高等数学研究变量、运动。这句话广为流传，但真正理解其含义的人并不多。简言之，在人类经验中，运动是连续过程——从 A 点到 B 点，即便光速也需时间逐点经过路径，这带来连续性概念。而**“连续”若不定义极限则无法解释**。古希腊数学发达却缺乏极限观念，因此无法解释运动，被芝诺悖论（飞箭不动、阿喀琉斯追不上乌龟等）困扰。本文不讨论微积分，感兴趣的读者可阅读齐民友教授的《重温微积分》，该书开头部分解释了“高等数学是研究运动的数学”的道理。

但本文中“运动”并非微积分中的连续运动，而是瞬间发生的变化。例如，某时刻在 A 点，经“运动”瞬间“跃迁”到 B 点，无需经过 A、B 间的任何点。这种“运动”或“跃迁”虽违反日常经验，但了解量子物理的人知道，量子（如电子）在不同能级轨道间的跳跃就是瞬间发生的，存在这种跃迁行为。因此，自然界中存在此类运动现象，只是宏观上无法观察。但“运动”一词易产生歧义，更准确的表述是“跃迁”，即**“矩阵是线性空间里跃迁的描述”**。

但这种说法过于物理（具体），不够数学（抽象），因此最终采用数学术语——变换来描述，即变换是空间中从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。例如，拓扑变换是拓扑空间中的跃迁，仿射变换是仿射空间中的跃迁。顺便一提，仿射空间与向量空间密切相关。计算机图形学中，描述三维对象虽只需三维向量，但所有图形变换矩阵都是 4×4 的。许多教材称“为使用方便”，这其实是搪塞。真正原因是，计算机图形学中的图形变换发生在仿射空间而非向量空间。向量空间中，向量平行移动后仍为同一向量；但现实中，等长的平行线段不能视为同一对象，因此计算机图形学的空间是仿射空间，而仿射变换的矩阵表示为 4×4（感兴趣的读者可参考《计算机图形学——几何工具算法详解》）。

理解“变换”后，矩阵的定义可表述为：“矩阵是线性空间里的变换的描述。”

教材中通常说：线性空间 V 中的线性变换 T，选定一组基后可表示为矩阵。因此需明确：什么是线性变换？什么是基？什么是选定一组基？线性变换的定义很简单：若存在变换 T，对线性空间 V 中任意两个不同对象 x、y 及任意实数 a、b，有 $T (a x + b y) = a T (x) + b T (y)$ ，则称 T 为线性变换。

仅看定义难以直观理解线性变换的本质。如前所述，变换是空间中点的跃迁，而线性变换是从线性空间 V 的某点到另一个线性空间 W 的某点的运动。这意味着，点不仅可变换到同一线性空间的另一点，还可变换到另一线性空间的另一点。只要变换前后的对象都属于线性空间，该变换就一定是线性变换，且可用非奇异矩阵描述；反之，用非奇异矩阵描述的变换也一定是线性变换。有人可能会问：为何强调非奇异矩阵？非奇异仅对方阵有意义，非方阵的情况如何？这涉及线性变换的映射性质、核与像等概念，较为复杂（若有时间后续补充）。本文仅讨论最常用、最有用的变换——同一线性空间内的线性变换。即下文所述矩阵（除非特别说明）均为方阵，且是非奇异方阵。学习学问的关键是把握主干，迅速建立整体概念，不必一开始就纠结于细枝末节和特殊情况，以免自乱阵脚。

2.4 基和坐标

接着讨论：什么是基？后文会详细展开，此处可将基视为线性空间中的坐标系。注意是“坐标系”而非“坐标值”，二者是对立统一的。因此，“选定一组基”即在线性空间中选定一个坐标系。

综上，矩阵的完整定义为：“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，选定一组基后，任何线性变换都可用一个确定的矩阵描述。”

理解这句话的关键是区分“线性变换”与“线性变换的一个描述”——前者是对象本身，后者是对对象的表述。类似面向对象编程中，一个对象可有多个引用（不同名称），但均指向同一对象。再举一个通俗的例子：

若要给一头猪拍照，选定相机镜头位置后可得到一张照片。这张照片是猪的一个描述（片面的），换一个镜头位置会得到另一张照片（也是该猪的片面描述）。所有照片都是同一头猪的描述，但都不是猪本身。

同样，对一个线性变换，选定一组基后可得到一个描述它的矩阵；换一组基，会得到另一个矩阵。这些矩阵都是同一线性变换的描述，但都不是线性变换本身。

2.5 相似矩阵

若给两张猪的照片，如何判断它们是同一头猪？同理，给两个矩阵，如何判断它们描述的是同一线性变换？若为同一线性变换的不同矩阵描述（因选定基/坐标系不同），则它们是“本家兄弟”，需找到判断方法。

同一线性变换的矩阵具有如下性质：若矩阵 A 与 B 是同一线性变换的不同描述（因基不同），则存在非奇异矩阵 $P$ ，使得 $A = P^{-1}BP$ 。

熟悉线性代数的读者会发现，这正是相似矩阵的定义。没错，相似矩阵是同一线性变换的不同描述矩阵。按此定义，同一头猪的不同角度照片可称为“相似照片”（虽通俗但易懂）。

上式中的矩阵 P 是 A 所基于的基与 B 所基于的基之间的变换关系。这一结论可用直观方法证明（非教材中的形式化证明），若有时间后续补充。

这一发现至关重要：一族相似矩阵都是同一线性变换的描述！难怪相似矩阵如此重要！工科研究生课程（如矩阵论、矩阵分析）中的相似变换（如相似标准型、对角化等）要求变换前后的矩阵相似，正是因为只有这样才能保证它们描述的是同一线性变换。同一线性变换的不同矩阵描述在运算性质上有优劣之分（如同同一头猪的照片有美丑之分），因此矩阵的相似变换可将“丑陋”矩阵转化为“美观”矩阵，且保证二者描述同一线性变换。

至此，矩阵作为线性变换描述的一面已基本说明。但线性代数还有更奇妙的性质：矩阵不仅可描述线性变换，还可描述一组基；作为变换的矩阵，既能将线性空间中的点变换到另一点，也能将线性空间中的坐标系（基）变换到另一坐标系（基）。变换点与变换坐标系的效果异曲同工，线性代数的奥妙正蕴含其中。理解这些，许多定理和规则会变得更清晰、直观。

2.6 向量和矩阵乘法

先总结前文主要结论：

存在空间，空间可容纳对象运动；一种空间对应一类对象。
线性空间是容纳向量对象运动的空间。
运动是瞬时的，也称为变换。
矩阵是线性空间中运动（变换）的描述。
矩阵与向量相乘是实施运动（变换）的过程。
同一变换在不同坐标系下表现为不同矩阵，但本质相同，因此本征值相同。

下面换个角度看待矩阵。线性空间的基本对象是向量，其表示形式为：

$[a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n]$

矩阵的表示形式为：

$a_{11}, a_{12}, a_{13}, \ldots, a_{1n}$
$a_{21}, a_{22}, a_{23}, \ldots, a_{2n}$
$\ldots$
$a_{n1}, a_{n2}, a_{n3}, \ldots, a_{nn}$

不难发现，矩阵由一组向量组成。特别地，n 维线性空间中的方阵由 n 个 n 维向量组成。本文仅讨论 n 阶非奇异方阵（理解其是理解矩阵的关键，其他矩阵可视为特殊情况）。学习需抓住主流，不必纠缠于旁支末节。可惜多数教材将主线埋没在细节中，使学习者未明原理先被灌输大量内容。例如数学分析，核心观念是“一个对象可表示为无穷多个合理选择的对象的线性和”，这一概念贯穿始终，是其精华。但教材从不强调这一点，反而让学生做大量习题、记特殊情况（如两类间断点、怪异的可微和可积条件），最终考试后忘得一干二净。其实，反复强调这一核心概念更重要，其他内容可查手册，不必因小失大。

言归正传：若一组向量线性无关，则它们可作为度量线性空间的一组基，进而形成坐标系——每个向量对应一根坐标轴，且是该坐标轴的基本度量单位（长度为 1）。

关键结论：矩阵可描述一个坐标系（前提是矩阵非奇异，即组成矩阵的向量线性无关）。

“你之前说矩阵是运动，现在又说是坐标系，这不是矛盾吗？”

并不矛盾，因为**“对象的变换等价于坐标系的变换”**（更准确地说：“固定坐标系下对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换”，即运动是相对的）。

举例说明：将点 $(1, 1)$ 变到点 $(2, 3)$ 有两种方式。① 坐标系不动，点运动：将 $(1, 1)$ 移到 $(2, 3)$ 。② 点不动，坐标系变换：x 轴单位变为原来的 1/2，y 轴单位变为原来的 1/3，点的坐标变为 $(2, 3)$ 。方式不同，结果相同。

从方式①看，矩阵是运动描述，矩阵与向量相乘是向量（点）的运动过程，即 $M a = b$ 表示“向量 a 经矩阵 M 描述的变换变为向量 b”。

从方式②看，矩阵 M 描述一个坐标系（也记为 M），则 $M a = b$ 表示“某向量在坐标系 M 中的度量结果为 a，在坐标系 I（单位矩阵，主对角线为 1、其余为 0 的矩阵）中的度量结果为 b”。

二者本质等价，这是本文关键，需深入理解。在 M 为坐标系的意义下， $M a$ 可视为对向量 a 的环境声明：“注意，该向量在坐标系 M 中的度量结果为 a，在其他坐标系中度量结果不同，M 用于明确其度量环境。”

单独的向量 b 实际是 $I b$ ，即“在单位坐标系 I 中，某向量的度量结果为 b”。因此 $M a = I b$ 表示“在 M 坐标系中度量为 a 的向量，与在 I 坐标系中度量为 b 的向量是同一向量”，这并非乘法计算，而是身份识别。

由此重新理解向量：向量客观存在，但需在坐标系中度量才能表示——将其在各坐标轴上的投影值按顺序排列，即得到向量的表示形式。所选坐标系（基）不同，向量的表示形式不同。因此，写出向量表示时应声明度量的坐标系，形式为 Ma（表示某向量在 M 坐标系中的度量结果为 a）。我们平时说向量 $2, 3, 5, 7]^T$ ，隐含其在 I 坐标系中的度量结果，这是简化的特殊情况。

需注意，矩阵 M 描述的坐标系由一组基组成，而这组基本身的度量也依赖于坐标系，即 M 实际是 $I M$ （M 中的基在 I 坐标系中的度量结果）。由此， $\times N$ 并非单纯的矩阵乘法，而是声明“在 M 坐标系中度量的坐标系 N（M 本身在 I 坐标系中度量），在 I 坐标系中的度量结果为 $\times N$ ”。

回到变换问题，“固定坐标系下对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换”中的“对象”是向量，那么坐标系的变换如何实现？

由 $M a = I b$ ，若要将 M 变换为 I，需左乘 $M^{-1}$ （M 的逆矩阵）。即，对坐标系 M 施加 $M^{-1}$ 变换可得到 I，此时 M 坐标系中的 a 在 I 坐标系中度量为 b。

建议通过画图理解：若坐标系 x 轴单位为 2、y 轴单位为 3（矩阵为 $\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ ），则该坐标系中坐标为 $(1, 1)$ 的点在笛卡尔坐标系（I）中为 $(2, 3)$ 。将原坐标系的 x 轴单位缩为 1/2、y 轴单位缩为 1/3（即左乘矩阵 $\begin{bmatrix}1/2 & 0 \\ 0 & 1/3\end{bmatrix}$ ，此为原矩阵的逆矩阵），坐标系变为 I，点的坐标变为 $(2, 3)$ 。

结论：“对坐标系施加变换的方法，是将表示该坐标系的矩阵与表示变换的矩阵相乘”。矩阵乘法再次成为运动的施加，只是此时被施加运动的是坐标系而非向量。

若理解上述内容，可进一步思考： $\times N$ 一方面表示坐标系 N 在运动 M 下的变换结果；另一方面，将 M 视为 N 的环境描述，即“在 M 坐标系中度量的坐标系 N，在 I 坐标系中的度量结果为 $\times N$ ”。

至此，可解答线性代数学习中的一个困惑：矩阵乘法规则为何如此规定？原因如下：

从变换角度，对坐标系 N 施加 M 变换，即对组成 N 的每个向量施加 M 变换。
从坐标系角度，在 M 坐标系中表现为 N 的坐标系，等价于将 N 的基在 I 坐标系中的坐标汇总为新矩阵。
矩阵乘以向量的规则源于：在 M 坐标系中度量为 a 的向量，要得到其在 I 坐标系中的度量结果，需与 M 中的每个向量进行内积运算（推导过程留给感兴趣的读者，此处已较清晰）。

综上，矩阵乘法规则是合理且有依据的，并非随意规定。

矩阵既是坐标系又是变换，运动与实体在此统一，难以严格区分。正如“道可道，非常道；名可名，非常名”，矩阵是“不可道之道，不可名之名”。此时不得不承认，线性代数教材中对矩阵的定义无比正确：“矩阵是由 m 行 n 列数组成的数学对象。”

3. 行列式

最后讨论行列式。矩阵 M 的行列式实际上是组成 M 的各个向量按平行四边形法则构成的 n 维立方体的体积。其精妙之处难以言表，或许是我掌握的数学工具不足，希望有人能进一步阐释其中原理。

以上内容需要仔细推敲。此外，不必等待本系列后续内容，因工作原因，近期难以继续深入这一领域（尽管仍有兴趣）。若有后续（第四部分），可能涉及应用层面（如计算机图形学相关算法的理解），但无法承诺近期推出。

参考书

前苏联名著《数学：它的内容、方法和意义》
龚昇《线性代数五讲》
Encounter with Mathematics《数学概观》

“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”　

– 瑞典数学家 Lars Garding 名著《Encounter with Mathematics》
Thomas A. Garrity 的《数学拾遗》
齐民友《重温微积分》

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理解矩阵（一）_矩阵在空间中表示什么 - 优快云博客 myan 于 2006 - 04 - 02 00:30:00 发布
https://blog.youkuaiyun.com/myan/article/details/647511
理解矩阵（二）_理解矩阵的本质-优快云博客 myan于 2006 - 04 - 03 14:01:00 发布
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理解矩阵（三）_理解矩阵的本质-优快云博客 myan 于 2007 - 11 - 03 21:42:00 发布
https://blog.youkuaiyun.com/myan/article/details/1865397