MIT OpenCourse 18.06 Linear Algebra 1_验证向量z 可以表示为x 的线性组合z=ax,找出矩阵a 的元素。-优快云博客

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本文探讨了线性代数中方程组的几何表示，包括两个和三个未知数的情况，解析了行图像和平面、空间中直线和平面交点的关系，以及列图像下向量线性组合的概念。

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线性代数的几何表示

1 例一：两个方程两个未知数

方程组：

$\begin{cases} 2x-y=0\\ -x+2y=3 \end{cases}$

矩阵形式：

$\begin{gathered} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \end{gathered}\times \begin{gathered} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{gathered}= \begin{gathered} \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} \end{gathered}$

简化表示：

$A x = b$

1.1 行图像

方程组按行展开为两个二元一次方程

$\begin{cases} 2x-y=0\\ -x+2y=3 \end{cases}$

因此求解方法为求出同时满足这两个方程的解即在平面上找到这两条直线的交点由此行图像为：

在这里插入图片描述

显然解为（1,2）即

$x=1\\ y=2$

1.2 列图像

将矩阵初步展开（方程组按列展开）后可表示为：

$x\times \begin{gathered} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \end{gathered}+ y\times \begin{gathered} \begin{bmatrix} -1\\ 2\end{bmatrix} \end{gathered}= \begin{gathered} \begin{bmatrix} 0\\ 3\end{bmatrix} \end{gathered}$

（拓展定义） **线性组合**：通过代入不同的x、y的组合，使如上等式满足（是我自己bb的定义）其中

$\begin{gathered} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \end{gathered} \begin{gathered} \begin{bmatrix} -1\\ 2 \end{bmatrix} \end{gathered} \begin{gathered} \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} \end{gathered}$

均视作二维向量则可得满足上式向量的线性组合为

$\begin{gathered} 1\times\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}+ 2\times\begin{bmatrix} -1\\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} \end{gathered}$

由此列图像为

在这里插入图片描述

思考：选取上述等式左边两向量的全部可能出现的线性组合，结果会是什么？

$x\times \begin{gathered} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \end{gathered}+ y\times \begin{gathered} \begin{bmatrix} -1\\ 2\end{bmatrix} \end{gathered}=？$

答：在两个二维向量不共线的前提下，这两个二维向量的全部线性组合将填满整个二维平面

2 例二：三个方程三个未知数

方程组：

$\begin{cases} 2x-y=0\\ -x+2y-z=-1\\ -3y+4z=4 \end{cases}$

矩阵形式：

$\begin{gathered} \begin{bmatrix} 2 & -1 &0 \\ -1 & 2 & -1 \\ -3 & 4 & 0 \end{bmatrix} \end{gathered}\times \begin{gathered} \begin{bmatrix} x \\ y \\z \end{bmatrix} \end{gathered}= \begin{gathered} \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} \end{gathered}$

简化表示：

$A x = b$

2.1 行图像

方程组按行展开为三个三元一次方程

$\begin{cases} 2x-y=0\\ -x+2y-z=-1\\ -3y+4z=4 \end{cases}$

因此求解方法为求出同时满足这三个方程的解即在平面上找到这三个平面的交点由此行图像为：

在这里插入图片描述

**注意：** 对于二维平面内的行图像，我们解起来可能相对容易一些但是从三维开始，我们可以看到，运算的难度在随着维度的增加而不断增加而且若要解答更高维度内的方程组，人脑是无法想象四维、五维乃至更高维度的空间的因此建议采用列图像的思路进行解答

2.2 列图像

将矩阵初步展开（方程组按列展开）后可表示为：

$x\times \begin{gathered} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{bmatrix} \end{gathered}+ y\times \begin{gathered} \begin{bmatrix} -1\\ 2\\4 \end{bmatrix} \end{gathered}+ z\times \begin{gathered} \begin{bmatrix} 0\\ -1\\0 \end{bmatrix} \end{gathered}= \begin{gathered} \begin{bmatrix} 0\\ -1\\ 4 \end{bmatrix} \end{gathered}$

则显然可得满足上式向量的线性组合为

$\begin{gathered} 0\times\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\-3 \end{bmatrix}+ 0\times\begin{bmatrix} -1\\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}+ 1\times\begin{bmatrix} 0\\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\4 \end{bmatrix} \end{gathered}$

由此列图像为

在这里插入图片描述

思考：选取上述等式左边三个向量的全部可能出现的线性组合，结果会是什么？

答：在三个三维向量不共面的前提下，这三个三维向量的全部线性组合将填满整个三维空间

3 思考：对于更高维度的Ax=b，其全部线性组合结果会是什么

会是什么呢？

4 矩阵与向量的乘法

首先构造一个矩阵

$\begin{gathered} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 &3 \end{bmatrix} \end{gathered}$

再取一个向量

$\begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \end{gathered}$

4.1 法一：列图像的思路

将其视作向量的线性组合，矩阵按列展开即可

$\begin{gathered} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 &3 \end{bmatrix} \end{gathered}\times \begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \end{gathered}= 1\times \begin{gathered} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \end{gathered}+ 2\times \begin{gathered} \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} \end{gathered}= \begin{gathered} \begin{bmatrix} 12 \\ 7 \end{bmatrix} \end{gathered}$

4.2 法二：点乘法

$\begin{gathered} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 &3 \end{bmatrix} \end{gathered}\times \begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \end{gathered}= \begin{gathered} \begin{bmatrix} 2\times1+5\times2\\1\times1+3\times2 \end{bmatrix} \end{gathered}= \begin{gathered} \begin{bmatrix} 12 \\ 7 \end{bmatrix} \end{gathered}$