置换 转置 向量空间R
1 置换
P−1=PT \textbf{P}^{-1}=\textbf{P}^T\\ P−1=PT
PT×P=I \textbf{P}^T\times \textbf{P}= I PT×P=I
2 转置
[132341] \begin{bmatrix} 1&3\\ 2&3\\ 4&1 \end{bmatrix} ⎣⎡124331⎦⎤
[132341]T=[124331] \begin{bmatrix} 1&3\\ 2&3\\ 4&1 \end{bmatrix}^T= \begin{bmatrix} 1&2&4\\ 3&3&1 \end{bmatrix} ⎣⎡124331⎦⎤T=[132341]
(Aij)T=Aji (\textbf{A}_{ij})^T=\textbf{A}_{ji} (Aij)T=Aji
3 对称矩阵
3.1 对称矩阵是啥
[123224343] \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 2&2&4\\ 3&4&3 \end{bmatrix} ⎣⎡123224343⎦⎤
S=ST \textbf{S}=\textbf{S}^T S=ST
3.2 自己造一个对称矩阵
R=[124331] \textbf{R}= \begin{bmatrix} 1&2&4\\ 3&3&1 \end{bmatrix} R=[132341]
RT×R \textbf{R}^T\times \textbf{R} RT×R
RT×R=[132341]×[124331]=[1011711131171117] \textbf{R}^T\times \textbf{R}= \begin{bmatrix} 1&3\\ 2&3\\ 4&1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1&2&4\\ 3&3&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 10&11&7\\ 11&13&11\\ 7&11&17 \end{bmatrix} RT×R=⎣⎡124331⎦⎤×[132341]=⎣⎡1011711131171117⎦⎤
[13]×[23] \begin{bmatrix} 1&3 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix} [13]×[23]
[23]×[13] \begin{bmatrix} 2&3 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix} [23]×[13]
(A×B)T=BT×AT (\textbf{A}\times \textbf{B})^T=\textbf{B}^T\times \textbf{A}^T (A×B)T=BT×AT
设A=(aij)m×n,B=(bij)n×s则有AT=(aji)n×m,BT=(bji)s×n记AB=(cij)m×s则BTAT=(dij)s×m与(AB)T=(cji)s×m同型又因为(AB)T的第i行第j列元cji就是AB的第j行第i列元,所以cji=∑k=1najkbki而BTAT的第i行第j列元为dij=∑k=1nbkiajk=∑k=1najkbki因此,cji=dij(i=1,2,⋯ ,s;j=1,2,⋯ ,m)故(AB)T=BTAT 设\textbf{A}=(a_{ij})_{m\times n}, \textbf{B}=(b_{ij})_{n\times s}\\\quad\\ 则有\\\quad\\ \textbf{A}^T=(a_{ji})_{n\times m}, \textbf{B}^T=(b_{ji})_{s\times n}\\\quad\\ 记\textbf{AB}=(c_{ij})_{m\times s}\\\quad\\ 则\textbf{B}^T\textbf{A}^T=(d_{ij})_{s\times m}与(\textbf{AB})^T=(c_{ji})_{s\times m}同型\\\quad\\ 又因为(\textbf{AB})^T的第i行第j列元c_{ji}就是\textbf{AB}的第j行第i列元,所以\\\quad\\ c_{ji}\quad=\quad\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}\\\quad\\ 而\textbf{B}^T\textbf{A}^T的第i行第j列元为\\\quad\\ d_{ij}\quad=\quad \sum_{k=1}^{n} b_{ki}a_{jk}\quad=\quad \sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}\\\quad\\ 因此, c_{ji}=d{ij}(i=1,2,\cdots,s;\quad j=1,2,\cdots ,m)\\\quad\\ 故(\textbf{AB})^T=\textbf{B}^T\textbf{A}^T 设A=(aij)m×n,B=(bij)n×s则有AT=(aji)n×m,BT=(bji)s×n记AB=(cij)m×s则BTAT=(dij)s×m与(AB)T=(cji)s×m同型又因为(AB)T的第i行第j列元cji就是AB的第j行第i列元,所以cji=k=1∑najkbki而BTAT的第i行第j列元为dij=k=1∑nbkiajk=k=1∑najkbki因此,cji=dij(i=1,2,⋯,s;j=1,2,⋯,m)故(AB)T=BTAT
(RTR)T=RT(RT)T=RTR (\textbf{R}^T\textbf{R})^T=\textbf{R}^T(\textbf{R}^T)^T=\textbf{R}^T \textbf{R} (RTR)T=RT(RT)T=RTR
RTR \textbf{R}^T\textbf{R} RTR
4 向量空间R
4.1 向量空间是啥?
4.1.1 数乘和加法
4.1.2 向量空间
R2 R^2 R2
[32][00][πe]⋯ \begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \pi\\ e \end{bmatrix}\cdots [32][00][πe]⋯
[32]+[πe]=[3+π2+e] \begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \pi\\ e \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3+\pi\\ 2+e \end{bmatrix} [32]+[πe]=[3+π2+e]
[00] \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} [00]
R2 R^2 R2
[00] \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} [00]
0×[32]=[00] 0\times \begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} 0×[32]=[00]
[32]+[−3−2]=[00] \begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -3\\ -2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} [32]+[−3−2]=[00]
R2 R^2 R2
R3 R^3 R3
[320] \begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 0 \end{bmatrix} ⎣⎡320⎦⎤
Rn R^n Rn
4.2 向量空间的性质
R2 R^2 R2
[32]+[56]=[88] \begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 5\\ 6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 8\\ 8 \end{bmatrix} [32]+[56]=[88]
(−5)×[32]=[−15−10] (-5)\times \begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -15\\ -10 \end{bmatrix} (−5)×[32]=[−15−10]
4.3 子空间
4.3.1 子空间是啥?
Rn R^n Rn
4.3.2 子空间都有哪些
①R2本身②任意经过[00]的直线③[00]这一个单独的点 ① R^2本身\\\quad\\ ② 任意经过\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}的直线\\\quad\\ ③ \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}这一个单独的点 ①R2本身②任意经过[00]的直线③[00]这一个单独的点
①R3本身②任意经过[000]的平面③任意经过[000]的直线④[000]这一个单独的点 ① R^3本身\\\quad\\ ② 任意经过\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}的平面\\\quad\\ ③任意经过\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}的直线\\\quad\\ ④ \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}这一个单独的点 ①R3本身②任意经过⎣⎡000⎦⎤的平面③任意经过⎣⎡000⎦⎤的直线④⎣⎡000⎦⎤这一个单独的点
4.3.3 列空间
A=[132341] \textbf{A}=\begin{bmatrix} 1&3\\ 2&3\\ 4&1 \end{bmatrix} A=⎣⎡124331⎦⎤
R3 R^3 R3
C(A) {C(A)} C(A)