MIT OpenCourse 18.06 Linear Algebra 5_mitopencourse 课程代码-优快云博客

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本文深入探讨了置换矩阵、转置、对称矩阵的概念及其性质，详细解析了向量空间的基本定义，包括数乘、加法、封闭性等关键属性，并介绍了子空间的概念及列空间的形成。

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置换转置向量空间R

1 置换

上节课最后提到了转置与置换置换矩阵的本质是对矩阵进行行变换操作具体可参考第二节笔记的4 那么在这里我们可以利用置换矩阵P 来拓展以下公式A=LU 前面几节课中我们消元的矩阵都是特殊设计的但正如我们在第二节笔记1.2.2.1中所提到的我们可能碰到主元为0的情况这时候就需要我们提前进行行变换所以对于A=LU 更为通用的写法是 PA=LU 其中P为置换矩阵用来对A实现换行的操作若无需换行则P为单位矩阵视作不进行任何操作这种PA=LU的形式是包含行互换的消元对于置换矩阵P 我们可以理解为经过行互换的单位矩阵所以就像上节课笔记的最后根据排列组合的思想可以得到对于n*n大小的矩阵一共有n的阶乘种置换矩阵并且置换矩阵具有特殊性质即

$\textbf{P}^{-1}=\textbf{P}^T\\$

由此也能得到另一性质

$\textbf{P}^T\times \textbf{P}= I$

别问我这咋证明我也不会证明可它就是有这个性质你们可以自己搜一下具体的证明过程

2 转置

之前还没讲过转置矩阵虽然你们应该都会如果想复习的话的可以看一下懒得看了直接跳过就好假设我们有矩阵

$\begin{bmatrix} 1&3\\ 2&3\\ 4&1 \end{bmatrix}$

那么转置的结果就是

$\begin{bmatrix} 1&3\\ 2&3\\ 4&1 \end{bmatrix}^T= \begin{bmatrix} 1&2&4\\ 3&3&1 \end{bmatrix}$

这用数学式来表达就是

$(\textbf{A}_{ij})^T=\textbf{A}_{ji}$

也就是 A的转置的第i行j列的元素等于 A的第j行i列的元素

3 对称矩阵

3.1 对称矩阵是啥

所谓对称矩阵顾名思义它是关于主对角线对称的矩阵比如

$\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 2&2&4\\ 3&4&3 \end{bmatrix}$

这也就使得它具有性质

$\textbf{S}=\textbf{S}^T$

3.2 自己造一个对称矩阵

但是有时候我们的矩阵不是方阵有时候我们的矩阵就是长方形的就像这样

$\textbf{R}= \begin{bmatrix} 1&2&4\\ 3&3&1 \end{bmatrix}$

长方形的矩阵怎么可能对称！这种时候不要悲伤不要心急我们可以用这个长方形矩阵自己造一个对称矩阵出来！因为其实所有的

$\textbf{R}^T\times \textbf{R}$

都是对称的！不信我们试试看

$\textbf{R}^T\times \textbf{R}= \begin{bmatrix} 1&3\\ 2&3\\ 4&1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1&2&4\\ 3&3&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 10&11&7\\ 11&13&11\\ 7&11&17 \end{bmatrix}$

请务必在草稿纸上自己写一遍这个过程然后你就会发现最终方阵第i行j列的元素和第j行i列的元素都是由相同的行或者列相乘得来的这么讲可能不是很好理解所以举例来说比如最终得到的方阵中第一行第二列的元素11 是由

$\begin{bmatrix} 1&3 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$

得来的而最终得到的方阵中第二行第一列的元素11 是由

$\begin{bmatrix} 2&3 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix}$

得来的这个 [1 3] 和 [2 3] 各自所在的矩阵其实是原矩阵与其自身的转置而转置的本质就是行变成列、列变成行所以最终矩阵的第一行第二列的元素和第二列第一行的元素对应的就是原矩阵第一行和第二行元素的相乘只不过有一行进行了转置处理而已这样就不难理解为什么最终得到的方阵是对称的了所以我们由此可以看出这样得到的矩阵具有对称性质并非出于偶然但我们仍然无法明确的描述这其中的原理就像刚才我们只能通过矩阵乘法运算中观察到的运算过程进行理解但通过这样的方式来描述一种性质显然是不严谨的那么我们该如何通过矩阵的语言来描述这样的性质呢？用矩阵的语言描述这个过程之前我们还需要知道一个性质就是

$(\textbf{A}\times \textbf{B})^T=\textbf{B}^T\times \textbf{A}^T$

这个公式在MIT的18.06线性代数视频里没有提到如何证明我在这里贴一下我们课本上的证明过程感兴趣的可以看一下 *****************分界线*****************

$设\textbf{A}=(a_{ij})_{m\times n}, \textbf{B}=(b_{ij})_{n\times s}\\\quad\\ 则有\\\quad\\ \textbf{A}^T=(a_{ji})_{n\times m}, \textbf{B}^T=(b_{ji})_{s\times n}\\\quad\\ 记\textbf{AB}=(c_{ij})_{m\times s}\\\quad\\ 则\textbf{B}^T\textbf{A}^T=(d_{ij})_{s\times m}与(\textbf{AB})^T=(c_{ji})_{s\times m}同型\\\quad\\ 又因为(\textbf{AB})^T的第i行第j列元c_{ji}就是\textbf{AB}的第j行第i列元，所以\\\quad\\ c_{ji}\quad=\quad\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}\\\quad\\ 而\textbf{B}^T\textbf{A}^T的第i行第j列元为\\\quad\\ d_{ij}\quad=\quad \sum_{k=1}^{n} b_{ki}a_{jk}\quad=\quad \sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}\\\quad\\ 因此, c_{ji}=d{ij}(i=1,2,\cdots,s;\quad j=1,2,\cdots ,m)\\\quad\\ 故(\textbf{AB})^T=\textbf{B}^T\textbf{A}^T$

*****************分界线***************** 所以根据这个公式就可以得到

$(\textbf{R}^T\textbf{R})^T=\textbf{R}^T(\textbf{R}^T)^T=\textbf{R}^T \textbf{R}$

也就是说

$\textbf{R}^T\textbf{R}$

的转置等于它本身所以它是对称矩阵！！！

4 向量空间R

4.1 向量空间是啥？

4.1.1 数乘和加法

要说向量空间首先我们得说说向量我们平时对向量都进行一些运算仔细想想不难发现我们主要就对向量进行两种运算也就是数乘和加法数乘就是我们拿一个标量去乘以一个向量比如我们知道向量v 那么我们就可以求出3v 加法就是比如我们知道一个向量v和一个向量w 那么我们就可以求出v+w

4.1.2 向量空间

ok 知道这些之后我们再来说“向量空间” “向量”的概念我们都知道可是它还有个“空间” 这个“空间”的意思就是一堆向量一整个空间的向量但并不是任意向量的组合都能称作空间空间必须满足一定的规则必须能够满足加法和数乘运算必须能进行线性组合比如在向量空间

$R^2$

里面这个向量空间里全是二维实向量比如

$\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \pi\\ e \end{bmatrix}\cdots$

我们可以对这些向量进行代数运算比如我们可以把它们相加比如

$\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \pi\\ e \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3+\pi\\ 2+e \end{bmatrix}$

而且这些向量都在x-y平面上有对应的箭头形式我就不画出来了特别需要注意的是

$\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$

不指向任何方向并且没有长度下面是重点！！！这些二维向量所在的整个平面就叫做

$R^2$

我们可以把它理解为一个平面也就是x-y平面但在这里我们又不能按照平面的性质去看待它我们需要把它考虑成所有向量组成的向量空间就比如如果我去掉这里的

$\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$

这就像x-y平面被扎了一个洞我们失去了原点这样就不再是一个向量空间了因为一个向量空间必须满足任何数乘和加法（减法视作加法的特殊形式）运算的结果都还是在这个向量空间内（这个性质也叫“封闭”）比如我们拿刚才给出的其态向量进行数乘

$0\times \begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$

在去掉原点后这个数乘运算的结果就不在去除掉原点后的向量空间里了或者我拿刚才给出的其他向量进行加法

$\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -3\\ -2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$

同样去掉原点后这个加法运算的结果就不在平面内了所以所有的向量空间必须包含0向量刚才所举例的

$R^2$

只是一个简单的向量空间其图像也很容易作出来为了巩固我们对向量空间的认识我们再来讲一下其他的向量空间比如

$R^3$

它是由所有三维实向量组成的线性空间比如这个向量

$\begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 0 \end{bmatrix}$

还有更高维度的向量空间

$R^n$

这个向量空间就很大了它包含了所有的n维实向量

4.2 向量空间的性质

首先最重要的就像刚才讲二维向量空间时所提到的我们取任意向量相加结果仍在这个向量空间中取任意向量进行数乘结果仍在这个向量空间中取线性组合也仍在向量空间中由此可见向量空间最重要的性质就是在进行加法和数乘运算之后结果仍在这个向量空间内我们可以举一个反例还是取刚才的二维向量空间也就是

$R^2$

我们这次只取x-y平面的第一象限然后取第一象限中的向量进行加法运算比如

$\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 5\\ 6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 8\\ 8 \end{bmatrix}$

结果仍在第一象限中这样看来没什么问题但对于数乘来说就不一定了比如

$(-5)\times \begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -15\\ -10 \end{bmatrix}$

这样得到的结果就在第一象限之外所以第一象限并不能构成向量空间因为它对于实数的数乘不是封闭的封闭的意思就是对一个集合F中的任意元素a和b 其加法和数乘运算的结果仍在集合F内则称这个集合F对加法和数乘运算封闭因此我们从这个例子中可以知道向量空间必须对数乘和加法这两种运算封闭也就是说对线性组合封闭

4.3 子空间

4.3.1 子空间是啥？

我们刚才提到的向量空间

$R^n$

确实是很重要的向量空间但是我们更关心这个向量空间内的向量空间这些向量空间满足作为向量空间的规则也就是对加法和数乘运算封闭但又无需包含它所在的向量空间内的所有向量我们以二维向量空间为例那么我们就需要去找到这样一个向量空间（也就是传说中的子空间）它是二维向量空间的一部分但不管对这里面的向量进行加法还是数乘运算其结果仍在这个向量空间内要找到这个向量空间首先就需要随便取一个向量对这个向量进行数乘运算把它乘以2，乘以0，乘以-1... 然后根据向量空间的性质这样所得到的所有结果都应该在这个向量空间内动手画画图就不难发现这些所有的向量组成了一条直线！！！也就是说这条直线上的所有向量都对数乘运算封闭那么这个直线是不是就是我们要找的向量空间呢？根据向量空间的性质为了确定它是不是我们要找的那个向量空间我们还需要检验这个向量空间是否对加减运算封闭这是显然成立的！我们用这个直线上的任意向量与任意的另一个向量进行加减运算所得到的结果仍在这条直线上所以这条二维向量空间内的直线对加减和数乘运算封闭这就是我们要找的子空间

4.3.2 子空间都有哪些

但不是所有直线都是二维向量空间的子空间！你可以自己在x-y平面上画一条不过原点的直线再按照刚才的步骤分别检验这条直线是否对加减和数乘这两种运算封闭你就会发现在二维向量空间内只有过原点的直线才具有子空间的性质所以我们可以进一步思考一下二维向量空间的所有子空间都有哪些？我直接列出来吧

$R^2本身\\\quad\\ ② 任意经过\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}的直线\\\quad\\ ③ \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}这一个单独的点$

再举个例子三维向量空间的子空间都有哪些？？？

$R^3本身\\\quad\\ ② 任意经过\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}的平面\\\quad\\ ③任意经过\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}的直线\\\quad\\ ④ \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}这一个单独的点$