（未完成）高级方法（一）：kalman滤波

//2014年6月20日入“未完成”

Kalman滤波基于时域描述的线性动态系统，它的模型是Markov Chain，而Markov Chain建立在一个被高斯噪声干扰的线性算子之上。系统的状态可以用一个元素为实数的向量表示。 随着离散时间的增加，这个线性算子就会作用到当前状态之上，产生一个新的状态，并且会带入一定的噪声，同时一些已知的控制信息也会加入。同时另外一个受噪声干扰的线性算子将产生这些隐含状态的可见输出。Kalman 滤波可以被看作为类似隐马尔科夫模型，它们的显著不同点在于：隐状态变量的取值空间是一个连续的空间，而离散状态空间则不是；另为，隐马尔科夫模型可以描述下一个状态的一个任意分布，这也与应用于Kalman滤波器中的高斯噪声模型相反。Kalman滤波器方程和隐马尔科夫方程之间有很大的二重性，关于Kalman 滤波方程和隐马尔科夫方程之间二重性参看Roweis and Ghahramani(1999)[4]。              

 为了从一系列的噪声观测中，应用Kalman滤波估计观测过程的内部状态。

卡尔曼滤波器是利用系统的输入和输出作为数据,构成一种用以估计随机系统的状态,使稳态误差协方差阵为最小的状态估计器。卡尔曼滤波器的基本目的是重构那些实际需要而又无法测量的状态,同时使噪声对状态重构的影响为最小。卡尔曼滤波器在构思上有三个基本特点:其一,是把测量时刻之前的估计值和即时的测量值按照它们的相对精度组合起来;其二,是在状态估计中考虑动力学特性;其三,是实现无偏估计。卡尔曼滤波器大体分为三类:(1)最优(基本型)卡尔曼滤波器,其主要应用于线性时变系统;(2)次优卡尔曼滤波器,主要应用于线性定常系统;(3)推广型卡尔曼滤波器,主要应用于非线性系统。在非线性系统滤波领域,推广卡尔曼滤波器是现代信号处理领域的一个重要的工具,并应用于目标跟踪和信号预测估计的工程计算问题中。但是,在实际的使用中,推广卡尔曼滤波器存在2个不足,首先,非线性系统的线性化引起大的误差,从而使滤波器很不稳定;其次,推广卡尔曼滤器中雅克比矩阵实现起来十分复杂。