EOJ 1851 【快速幂】【数列】

最新推荐文章于 2019-03-30 14:13:00 发布

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分类专栏： EOJ 问题求解与程序设计课程 ACM题解文章标签： algorithm

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u013586320/article/details/39675013

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本文探讨了特定操作序列如何改变数值序列，并通过数学方法求解了通项公式，最终利用快速幂技巧优化求解过程，实现高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

/题目链接/

题意：对给定的N个数进行T次操作，每次操作依次更改所有的数，更改的定义如下：对于第i个数，取上次操作后除第i个数以外的N-1个数并求和。

当N=3时：读入（C1,C2,C3）

C1 C2 C3

	T=0	1C1+0C2+0C3	0C1+1C2+0C3	0C1+0C2+1C3
	T=1	0C1+1C2+1C3	1C1+0C2+1C3	1C1+1C2+0C3
	T=2	2C1+1C2+1C3	1C1+2C2+1C3	1C1+1C2+2C3
	T=3	2C1+3C2+3C3	3C1+2C2+3C3	3C1+3C2+2C3
	T=4	6C1+5C2+5C3	5C1+6C2+5C3	5C1+5C2+6C3

……

题目分析：

当N=3时，对于C1的偶数操作来说，运算的结果是(1,0,0)、(2,1,1)、(6,5,5)......，C1项的系数比其余项多一。奇数操作的结果是(0,1,1)、(2,3,3)......,C1项比其余项少一。对于C2、C3等同理。

现在取出(1,0,2,2,6......)作为数列a(a0 = 1)，易得

。由于T<1414213562，递推求解必然超时，所以需要求出通项公式，因为该递推式是

类型的，所以我们求通项的方法是等式两边同除以

，之后经过移项->累项相消->等比数列求和化简后可得

。这是N=3的通项，扩展到N的情况：

求出公式后，我们可以用快速幂在时限内得到它的值。求值的时候注意两点：1、除法变化为它的逆元 2、遇到结果可能为负数的时候加上模。

之后我们分奇偶进行讨论：t为偶数时，当前项比其他项多1，所以我们把求出的系数减一后乘以每个数并求和，然后额外加一个当前项；t为奇数时，当前项比其他项少1，所以我们把求出的系数加一后乘以每个数并求和，然后额外减一个当前项。按格式输出后即可AC~

AC代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <cassert>
#include <complex>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <list>
#include <set>
#include <map>

typedef long long LL;
const LL MOD = 98765431;
using namespace std;

LL KSM(LL a, LL n)
{
      if (n==1)
            return a%MOD;
      LL ans = KSM(a,n>>1);
      if (n&1)
            ans = ans*ans%MOD*a%MOD;
      else
            ans = ans*ans%MOD;
      return ans;
}

int main()
{
      LL n,t;
      LL ans = 0,a[50010]={0};
      scanf("%I64d%I64d",&n,&t);
      LL x = ((((1-n)%MOD*KSM(n,MOD-2)%MOD) * (KSM(-1,t+1)+KSM(n-1,t)%MOD))%MOD + KSM(n-1,t))%MOD;
      if ((t&1)==0)
            x = (x-1)%MOD;
      else
            x = (x+1)%MOD;
      for (int i=0; i!=n; ++i)
      {
            scanf("%I64d",&a[i]);
            a[i] %= MOD;
            ans = (ans+a[i]*x%MOD)%MOD;
      }
      for (int i=0; i!=n; ++i)
            if (t&1)
                  printf("%I64d\n",(ans-a[i])%MOD);
            else
                  printf("%I64d\n",(ans+a[i])%MOD);
      return 0;
}