POJ 1905 Expanding Rods(几何+二分)

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#ACM #算法 #计算几何 #POJ #algorithm

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本文针对POJ1905题目——“Expanding Rods”，介绍了一种结合几何与二分查找法的解决方案。主要内容包括：题目解析、关键方程推导、二分查找法的应用及代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

POJ 1905 Expanding Rods(几何+二分)

http://poj.org/problem?id=1905

题意:

一根两端固定在两面墙上的杆受热弯曲后变弯曲

求前后两个状态的杆的中点位置的距离. 弯曲后的杆可以看成一个圆的弧,而弯曲前的杆可以看成是该弧的弦.

分析:

假设当前的圆半径为r,且该弧S对应的圆心角为2 θ. h是我们要求的距离.那么我们可以推过上图得到下面3个方程:

（1）θr = 1/2*s (弧/圆周长==弧圆心角/2π)

（2）sinθ= 1/2*L/r (正弦定理)

（3）勾股定理 r^2 – ( r – h)^2 = (1/2*L)^2

那么化简上述公式可得:

那么我们可以通过二分h的长度(h的范围是[0,0.5L],该范围值也不好证明)来计算r的值,然后通过第二个等式来验证r的值是否正确. 如果当前通过h的值算出的r值使得等式(2)右边小于s,那么h值应该更大. 否则L值应该更小.

注意: 二分有个很重要的前提就是单调,本题需要证明等式(2)右边是关于r单调递增的且要证明h与r也是成正比的关系.

下面这个大神把上面的单调关系证明了,还带图解:

http://blog.youkuaiyun.com/zhengnanlee/article/details/18494917

AC代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const double eps=1e-5;

double L,C,n,S;

double get_s(double h)
{
    double r= (4*h*h+L*L)/(8*h);
    return 2*r*asin(L/(2*r));
}

int main()
{
    while(scanf("%lf%lf%lf",&L,&n,&C)==3)
    {
        if(L<0 && n<0 && C<0) break;
        S=(1+n*C)*L;
        double low=0,high=L/2;
        while(high-low>eps)
        {
            double mid=(low+high)/2;
            if(S>get_s(mid)) low=mid;
            else high=mid;
        }
        printf("%.3lf\n",high);
    }
    return 0;
}