斐波那契数列的定义为:
f(n)={0,if n = 01,if n = 1f(n−1)+f(n−2)if n > 1 f(n) =
\begin{cases}
0, & \text{if $n$ = 0} \\
1, & \text{if $n$ = 1}\\
f(n-1) + f(n-2) & \text{if $n$ > 1}
\end{cases}
f(n)=⎩⎪⎨⎪⎧0,1,f(n−1)+f(n−2)if n = 0if n = 1if n > 1
计算斐波那契数列的第n项有三种方法。
递归法
考虑到斐波那契数列的定义,我们很容易写出下面的代码:
int f(int n)
{
if(n <= 0)
return 0;
if(n == 1)
return 1;
return f(n-1) + f(n-2);
}
考虑一下这种方法的时间复杂度,容易写出递归式:
T(n)={1if n = 01if n = 1T(n−1)+T(n−2)+1if n > 1
T(n) = \begin{cases}
1 & \text{if $n$ = 0} \\
1 & \text{if $n$ = 1}\\
T(n-1) + T(n-2) + 1& \text{if $n$ > 1}
\end{cases} T(n)=⎩⎪⎨⎪⎧11T(n−1)+T(n−2)+1if n = 0if n = 1if n > 1
可以看到T(n)T(n)T(n)的增长速度是比斐波那契数列更快的,而斐波那契数列就是以指数形式增长的,所以T(n)T(n)T(n)至少也是指数增长的。
显然,一种指数复杂度的算法是难以满足要求的。
常规解法
递归法之所以复杂度这么高的原因是,对于同一个值,进行了反复计算。所以我们采用一种方法,用一个数组记录所有计算过的值,这样就避免了重复计算。
代码如下
int Fibonacci(int n) {
int a[n+1];
a[0] = 0;
a[1] = 1;
for(int i=0; i<n-1; i++)
{
a[i+2] = a[i+1] + a[i];
}
return a[n];
}
显然这种方法的时间复杂度是O(n)O(n)O(n)
矩阵幂法
这种方法基于一个数学公式:
[f(n)f(n−1)f(n−2)f(n−2)]=[1110]n−1 \begin{bmatrix} f(n) & f(n-1) \\ f(n-2) & f(n-2) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} ^{n-1}[f(n)f(n−2)f(n−1)f(n−2)]=[1110]n−1
我们知道求矩阵幂的时间复杂度是 O(logn)O(logn)O(logn),所以这种方法求解斐波那契数列第n项的时间复杂度也是O(logn)O(logn)O(logn)。