《剑指Offer》计算斐波那契数列的第n项

斐波那契数列的定义为:
f(n)={0,if n = 01,if n = 1f(n−1)+f(n−2)if n > 1 f(n) = \begin{cases} 0, & \text{if $n$ = 0} \\ 1, & \text{if $n$ = 1}\\ f(n-1) + f(n-2) & \text{if $n$ > 1} \end{cases} f(n)=0,1,f(n1)+f(n2)if n = 0if n = 1if n > 1
计算斐波那契数列的第n项有三种方法。

递归法

考虑到斐波那契数列的定义,我们很容易写出下面的代码:

int f(int n)
{
	if(n <= 0)
		return 0;
	if(n == 1)
		return 1;
	return f(n-1) + f(n-2);
}

考虑一下这种方法的时间复杂度,容易写出递归式:
T(n)={1if n = 01if n = 1T(n−1)+T(n−2)+1if n &gt; 1 T(n) = \begin{cases} 1 &amp; \text{if $n$ = 0} \\ 1 &amp; \text{if $n$ = 1}\\ T(n-1) + T(n-2) + 1&amp; \text{if $n$ &gt; 1} \end{cases} T(n)=11T(n1)+T(n2)+1if n = 0if n = 1if n > 1
可以看到T(n)T(n)T(n)的增长速度是比斐波那契数列更快的,而斐波那契数列就是以指数形式增长的,所以T(n)T(n)T(n)至少也是指数增长的。
显然,一种指数复杂度的算法是难以满足要求的。

常规解法

递归法之所以复杂度这么高的原因是,对于同一个值,进行了反复计算。所以我们采用一种方法,用一个数组记录所有计算过的值,这样就避免了重复计算。
代码如下

 int Fibonacci(int n) {
        int a[n+1];
        a[0] = 0;
        a[1] = 1;
        for(int i=0; i<n-1; i++)
        {
            a[i+2] = a[i+1] + a[i];
        }
        return a[n];
    }

显然这种方法的时间复杂度是O(n)O(n)O(n)

矩阵幂法

这种方法基于一个数学公式:
[f(n)f(n−1)f(n−2)f(n−2)]=[1110]n−1 \begin{bmatrix} f(n) &amp; f(n-1) \\ f(n-2) &amp; f(n-2) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&amp; 1 \\ 1 &amp; 0 \\ \end{bmatrix} ^{n-1}[f(n)f(n2)f(n1)f(n2)]=[1110]n1
我们知道求矩阵幂的时间复杂度是 O(logn)O(logn)O(logn),所以这种方法求解斐波那契数列第n项的时间复杂度也是O(logn)O(logn)O(logn)

评论 1
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值