高等代数(七)-线性变换09：最小多项式

最新推荐文章于 2024-05-06 09:09:40 发布

u013250861

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分类专栏：高等代数文章标签：线性代数矩阵

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u013250861/article/details/135902474

本文探讨了矩阵的最小多项式，它是判断矩阵是否可对角化的工具。最小多项式是唯一且能整除矩阵的任何特征多项式。通过举例说明了数量矩阵和特定矩阵的最小多项式，并指出相同最小多项式的矩阵不一定相似。最后，定理指出矩阵对角化的充分必要条件是其最小多项式是互素的一次因式乘积。

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"§9 最小多项式
根据哈密顿-凯莱定理, 任给数域 $P$ 上一个 $n$ 阶矩阵 $A$ , 总可找到数域
$P$ 上一个多项式 $f (x)$ , 使 $f(A)=Of(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O}$ .
如果多项式 $f (x)$ 使 $f(A)=Of(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O}$ , 我们就称 $f (x)$
以 $A\boldsymbol{A}$ 为根. 当然, 以 $A\boldsymbol{A}$
为根的多项式是很多的, 其中次数最低的首项系数为 1 的以 $A\boldsymbol{A}$
为根的多项式称为 $A\boldsymbol{A}$ 的最小多项式.
这一节讨论如何应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化的问题.
首先介绍最小多项式的一些基本性质.
引理 1 矩阵 $A\boldsymbol{A}$ 的最小多项式是唯一的.
证明设 $g_{1}(x)$ 和 $g_{2}(x)$ 都是 $A\boldsymbol{A}$ 的最小多项式,
根据带余除法, $g_{1}(x)$ 可表成
$g_{1}(x)=q(x) g_{2}(x)+r(x),$
其中 $r (x) = 0$ 或 $tial(r(x))<tial(g2(x))tial(r(x))<tial\left(g_{2}(x)\right)$ ,于是
$g1(A)=q(A)g2(A)+r(A)=O,g_{1}(\boldsymbol{A})=q(\boldsymbol{A}) g_{2}(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A})=O,$
因此 $r(A)=Or(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O}$ . 由最小多项式的定义, $r (x) = 0$ ,
即 $g2(x)∣g1(x)g_{2}(x) \mid g_{1}(x)$ . 同样可证 $g1(x)∣g2(x)g_{1}(x) \mid g_{2}(x)$ .因此
$g_{1}(x)$ 与 $g_{2}(x)$ 只能相差一个非零常数因子. 又因 $g_{1}(x)$ 与
$g_{2}(x)$ 的首项系数都等于 1 , 所以 $g_{1}(x)=g_{2}(x)$ . I
应用同样的方法, 可证下述引理.
引理 2 设 $g (x)$ 是矩阵 $A\boldsymbol{A}$ 的最小多项式, 那么 $f (x)$ 以
$A\boldsymbol{A}$ 为根的充分必要条件是 $g (x)$ 整除 $f (x)$ . I
由此可知,矩阵 $A\boldsymbol{A}$ 的最小多项式是 $A\boldsymb$