数理统计

当研究并解决一个实际问题时， 我们会
遇到下面问题：
• 1. 这个随机现象可以用什么样的分布律
来刻划，这种分布律的选用合理吗？
• 2. 所选用的这一分布律的参数是多少？
如何估计和确定这些参数？
如何利用数据资料，作出尽可能精确可
靠的统计结论(统计推断):
1） 估计——从局部观测资料的统计特征，推断总体的特征(分布与矩)；
2）假设检验——依据抽样数据资料，对总体的某种假设作检验，从而决定对此假定是拒绝抑或接受.

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数理统计的基本概念

总体：研究对象全体; 也称母体, 记作$S$.
样本：总体中抽出作观测的个体;也称子样，记$\omega$
样本容量：抽取的个体数目;也称样本大小.

例子

随机抽5支,得寿命数据(称为观察[测]值）：
$725，520，683，992，742$.(小时)
一般记为，$x_1\ x_2\ x_3\ x_4\ x_5$.
又抽5支， $x^\prime_1\ x^\prime_2\ x^\prime_3\ x^\prime_4\ x^\prime_5$.
再抽5支， $x^{\prime \prime}_1\ x^{\prime \prime}_2\ x^{\prime \prime}_3\ x^{\prime \prime}_4\ x^{\prime \prime}_5\ $.
…… ……
如此继续. 各组观察值彼此不同.
如此继续. 每组中的第一支灯的寿命，
也彼此不同. 这样，泛指所抽取的第一支荧光灯的寿命应是一个$rv$，记为
$X_1$ . 同样第二支的寿命是$rv\ X_2$ ，…
如此得一组$rv\ :\ X_1,X_2,X_3,X_4,X_5$
称为大小为5的样本.
一般地则有大小（容量）为$n$ 的样本,称$x_1, x_2, ..., x_n$为样本观察值[现实].
抽取的样本如能切实保证其随机性，那么应该彼此独立，且能反映总体的随机规律性，即所有样本彼此独立且与总体同分布. 这样的样本，我们称之为简单样本. 这种抽样方法，叫简单抽样.
注意，在有限总体中，各观察结果可能不独立.

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样本的数字特征与分布

最简单又方便的样本函数$g (X_1, …, X_n)$是$X_i$们的一次和二次的线性组合.
由于样本“平等”，线性组合中应有相等的权系数.

一次时:样本的算术平均值$\overline X$;
二次时:中心化后的样本二阶中心矩$S_n^2$.
设$X_1, …,X_n$为总体$S$的大小为$n$的样本， 分别称

$$\overline X={1 \over n}\sum_{i=1}^nX_i\ \ \ \ S^2={1 \over n-1}\sum^n_{i=1}(X_i-\overline X)^2$$
为 样本均值和 *样本方差 （样本方差除以n-1的原因），而依次称
$$M_k={1 \over n}\sum^n_{i=1}X_i^k\ \ \ \ S^2_n={1 \over n}\sum^n_{i=1}(X_i-\overline X)^2$$
为 样本的k阶矩和 样本的二阶中心矩.

记号：总体k阶矩：

$$\mu_k= EX^k\int ^{+\infty}_{-\infty}x^kdF_X(x)$$
总体的k阶中心矩：
$$\sigma_k=\int ^{+\infty}_{-\infty}(x-EX)^kdF_X(x)$$
$\mu=\mu_1,\sigma_2=\sigma^2$.

注意
1)$M_1=\overline X , S_n^2$没叫样本方差.
2) 比较总体的期望$\mu$、方差$\sigma^2$与矩$\mu_k$:
　　　1. 样本的均值、方差及$k$阶矩等都是$rv$，并且因$n$有限而总是存在的.
　　　2. 总体的期望、方差及$k$阶矩等不一定存在.且即便存在，也是实数值， 而非$rv$.
3)代入观察值, 有相应的样本矩的观察值$x, m$以及$s^2$ 等.

性质 如果总体$k$阶矩存在，则样本的k阶矩的数学期望等于总体的$k$阶矩，而当$n$趋于无穷时，样本的$k$阶矩以概率收敛到总体的$k$阶矩，即

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顺序统计量与经验$df$

仍从观察值出发设法求总体分布. 以五支荧光灯寿命数据$725, 520, 683, 992, 742$为例，构造

其 $df$ 函数(如后图)称为 经验$df$函数.

设$\{x_i\}$观察值重新依序排列为$\{x_{(n)}\}:\ \ \ \ x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \dots \leq x_{{n}}$

令
称为由 $\{x_i\}$决定的 经验$df$, 简记为 $F_n^*(x)$.
将以从小到大为序重新排列的一个样本，称为 顺序统计量，专记为 $x_{(1)}\ x_{(2)}\ \dots \ x_{{n}}$
下面一个非常重要的定理确立经验 $df$ 的重要地位. 此定理保证，几乎由每一组观察值得到的经验 $df$，只要n足够大，都可作为总体 $df$的近似. 定理中一致收敛性和几乎处处收敛性，给了我们充分的自由.从而由样本去找总体 $df$，理论上有一个完满的解决.
$$\lim_{n\rightarrow \infty} F_n^*(x)=F(x)$$

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抽样分布与统计量

正态总体常用的样本函数

1.设总体$S ～N (\mu,\sigma^2)$. 则
样本均值$\overline X ～N (\mu,{\sigma^2 \over n})$，从而

Z:=X¯¯¯−μσ/n√～N(0,1)

$$Z:={\overline X-\mu \over \sigma/\sqrt{n}} ～ N(0,1)$$
2. $K_n^2:=\sum_1^n({X_i-\mu \over \sigma})^2$的分布 $\chi^2(n)$
$K_n^2$是 $n$个独立的标准正态变量的平方和,称$n$个独立的标准正态变量的平方和的分布为自由度为 $n$的$\chi^2$分布.
3. $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} ～\chi^2(n-1)$
样本均值与样本方差独立, 且
$$K_2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum_1^n({X_i-\overline X\over \sigma})^2　～　\chi^2(n-1)$$
在 $K_n^2 =\sum_1^n({X_i-\mu \over \sigma})^2$中用 $\overline X$易 $\mu$得 $K_2$.
4. $T:={\overline X-\mu \over S/\sqrt{n}} ～　t(n-1)$
$Z:={\overline X-\mu \over \sigma/\sqrt{n}} ～ N(0,1)$中如 $\sigma$未知， $S^2$是 $\sigma^2$的无偏估计，自然用S代替Z中的 $\sigma$引入T
如果 $Z　～Ｎ（０，１），Y～\chi^2(n)$且独立，则称
$$t={Z \over \sqrt{Y/N}}～t(n)$$
即自由度 $n$的$t$分布.
5. $F_{nm}:={S_1^2\sigma^2_2 \over S_2^2\sigma^2_1}～F(n-1,m-1)$
如果 $X～\chi^2(n),Y～\chi^2(n)$，且两者相互独立，则称 $F={\chi^2(n)/n\over \chi^2(m)/m}～Ｆ(n,m)$
为自由度为n,m的 F分布

性质

• t 分布是对称的,且$n\rightarrow \infty$极限为正态($n\geq30$时近似的效果就很好) .
• t 分布只有$k<n$阶矩.
• $\kappa^2$分布和F分布不对称，且$x<0$ 时为0.
• $\kappa^2$ 分布的可加性：设U 与V 独立，且分别~$\kappa^2(n)$和$\kappa^2(m)$，则$U＋V ～\kappa^2(n+m)$.
对给定的实数$\alpha \in(0, 0.5)$, 使

$$P(X>y)=\int^\infty_yf_X(x)=\alpha$$
成立的点 $y$, 称为$X$ 或其分布的上百分位 $\alpha$点. 特别对 $N(0, 1)$、 $t(n)$、 $\kappa^2(n)$和 $F(n, m)$分布, 分别记为
$$z_\alpha,t_\alpha(n),\chi_\alpha^2(n),F_\alpha(n,m)$$
使
$$P(X>y)=\int^\infty_yf_X(x)={1-\alpha}$$
成立的点 $y$, 称为$X$ 或其分布的下百分位 $\alpha$点. 特别对 $N(0, 1)$、 $t(n)$、 $\kappa^2(n)$和 $F(n, m)$分布, 分别记为
$$z_{1-\alpha},t_{1-\alpha}(n),\chi_{1-\alpha}^2(n),F_{1-\alpha}(n,m)$$
百分位点的值，可由表查得.

例题：

例题1：

设$X_1, X_2,…, X_n$, 是来自总体$X～N(0,\sigma^2)$的简单随机样本，求统计量

$$\sum^{10}_{i=1}(-1)^iX_i\over \sqrt{\sum^{20}_{i=11}X_i^2}$$
的分布。
解：
由题意可知 $X_k～N(0,\sigma^2)$可得
$\sum^{10}_{i=1}(-1)^iX_i～N(0,10\sigma^2)$
$\sum^{10}_{i=1}(-1)^iX_i\ /\sqrt{10}\sigma～N(0,1)$
又因为 $\sum^{20}_{i=11}({X_i^2\over\sigma})～\chi^2(10)$
故由t分布定义可得
$${\sum^{10}_{i=1}(-1)^iX_i\over \sqrt{\sum^{20}_{i=11}X_i^2}}\ =\ \frac{\sum^{10}_{i=1}(-1)^iX_i}{\sqrt{10}\sigma}({\sum^{20}_{i=11}({X_i^2/10})\over \sigma})^{-1}～t(10)$$

例题2：

设$X_1, X_2,…, X_{n+1}$是正态总体的简单样本，前面容量为n的样本均值和样本二阶中心矩分别为$\overline X$ 和$S_n^2$
试求下列样本函数的分布
1)$(n-1)(X_1-\mu)^2\ /\ \sum_{i=2}^n(X_i-\mu)^2$
2)${X_{n+1}-\overline X \over S_n}\sqrt{n-1\over n+1}$

解：
1)
$(n-1)(X_1-\mu)^2\ /\ \sum_{i=2}^n(X_i-\mu)^2\\={\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\over\frac{\sum_{i=2}^n{(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2}}{n-1}}$
分子服从$\chi^2(1)$，分母服从$\chi^2(n-1)$
所以整个式子服从$F(1,n-1)$
2)
${X_{n+1}-\overline X \over S_n}\sqrt{n-1\over n+1}$
分母部分变成：
${S_n^2(n-1)\over\sigma^2}～\chi^2(n-1)$
分子部分变成：
${X_{n+1}-\overline X \over\sigma}～Ｎ(0,1)$
因此原式变成：
$\frac{X_{n+1}-\overline X \over \sigma}{\sqrt{S_n^2(n-1)\over\sigma^2}\ /\ \sqrt{n-1}}$
服从$t(n-1)$