数论——求 phi

$\phi$

1. $\phi$的定义

$\phi (n)$: 欧拉函数，费马小定理的扩展，求的是在[1, n]中，有多少个正整数和 n 互质

费马小定理只能用于质数，欧拉函数可以用于任何数(逆元)

2. 求$\phi$

暴力，利用$\phi$的性质

#include <algorithm>

#define gcd __gcd // 还没有学gcd怎么用，不准自己写
                  // 某些编译器可能不让用，就复制一下题解
#define int long long

int phi(int x)
{
   
    int cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= x; i ++)
    {
   
        if(gcd(i, x) == 1) cnt ++;
    }
    return cnt;
}

太慢！时间复杂度$O(N\log N)$

怎么优化呢？

小茗优化

显然，在[1, N]中和N互质的正整数，就是和N没有相同的质因子的数

一个质因子就是质数，显然$\phi (N)=N-1$

考虑两个质因子的情况，设质因子分别为p, q

那么$1\to N$中，p的倍数有 N p \frac{N}{p}