线性筛法求phi函数表

最新推荐文章于 2023-04-28 18:06:13 发布
原创 最新推荐文章于 2023-04-28 18:06:13 发布 · 3.1k 阅读 · 0 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
文章标签：

#phi #数论

本文介绍了一个用于计算欧拉函数的算法实现。该算法通过筛选质数并利用这些质数来计算一系列整数的欧拉函数值。特别地，它详细展示了如何通过检查与现有质数的倍数关系来高效地确定一个数是否为质数，并进而计算其欧拉函数。 
void phi_table(){
     phi[1]=1;
    fo(i,2,mn){//从2开始计算
         if (!phi[i]){//等价于是质数 
            pri[++pt]=i;
            phi[i]=i-1; 
        } 
        fo(j,1,pt){ //枚举添加的小质数
            te=i*pri[j];
            if (te>mn)
                break;
            if (i%pri[j]==0){ //重复的质数
                phi[te]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            phi[te]=phi[i]*(pri[j]-1);//不同的质数
        }
    }
}
C++实现线性筛法求欧拉函数
qq_56615615的博客
04-11 1284
题目： 代码： #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e6 + 10; int primes[N], phi[N], cnt; bool state[N]; void get_eulers(int& n) // 线性筛法求1~n的欧拉函数 { phi[1] = 1; for(int i = 2; i <= n; i++) { if(state[
【刷题】数学知识——欧拉函数：线性筛法求多个数的欧拉函数
qq_42581685的博客
06-04 356
线性筛 欧拉函数
hdu2824线性求(即求n内所有)欧拉函数值phi模板
weixin_50904510的博客
08-21 232
1与任何数互质 4和15互质，4 15都不是质数，但互质 即gcd(4,15)=1 #include<bits/stdc++.h> #define inf 0x3f3f3f3f typedef long long ll; using namespace std; const int maxn=3e6+7; int vis[maxn],p[220000],phi[maxn],cnt=0; //欧拉线性筛通过唯一分解法删合数(min质数*剩余部分)12=2*6，通过质数2来删 //线性筛.
hdu1286
oneplus123的博客
10-15 399
/**/ #include &lt;cstdio&gt; #include &lt;cstring&gt; #include &lt;cmath&gt; #include &lt;cctype&gt; #include &lt;iostream&gt; #include &lt;algorithm&gt; #include &lt;map&gt; #include &lt;set&amp
欧拉函数及其线性筛法 O(n)
qq_31774967的博客
08-16 681
欧拉函数： 定义phi (n) 为 1 到 n-1 范围内的与互素的数的个数； 公式：phi(n）= n*(1- 1/p1) * (1 - 1/p2) * (1 - 1/p3) 。。。。。。（1 - 1/pn）; pi为n的素因子； 性质： 1。 n为1时， phi(1)==1; 2。 n为素数时， phi (n)==n-1; 3。 若m , n互质 phi(n...
线 性 筛
weixin_51833103的博客
06-01 276
素数筛法 如果我们想要知道小于等于 n 有多少个素数呢？ 一个自然的想法是我们对于小于等于 n 的每个数进行一次判定。这种暴力的做法显然不能达到最优复杂度，考虑如何优化。 考虑这样一件事情：如果 是合数，那么 的倍数也一定是合数。利用这个结论，我们可以避免很多次不必要的检测。 如果我们从小到大考虑每个数，然后同时把当前这个数的所有（比自己大的）倍数记为合数，那么运行结束的时候没有被标记的数就是素数了。 int Eratosthenes(int n) { int p = 0; for (int
线性筛
eternityZZing的博客
08-01 295
筛素数是为了求得一个区间内的所有素数，而把不是素数的筛去。 http://www.cnblogs.com/zhuohan123/p/3233011.html http://blog.youkuaiyun.com/leolin_/article/details/6642126 Eratosthennes筛法时间复杂度为O（nlogn），用每一个素数去筛它的倍数，即筛去它的合数，显然这样有些合数被重复筛了很...
【算法详解】线性筛法 与 欧拉函数
Ronaldo7_ZYB的博客
12-13 595
线性筛法 what is 线性筛？？就是基于最基本的筛法的优化。 在基础的筛法上，我们发现有的数字会被重复筛，例如6既会被2枚举到也会被3枚举到，必然有重复运算。 我们的做法就是让每一个数的最小因数筛。 FORFORFOR EXAMPLE：EXAMPLE：EXAMPLE： 有一个数2∗2∗3∗52 * 2 * 3 * 52∗2∗3∗5 有另一个数 3∗3∗3∗53 * 3 * 3...
筛法求欧拉函数
weixin_62802134的博客
01-07 737
筛法求欧拉函数
2023/4/28 欧拉函数 线性筛 线性筛推欧拉函数模板
qq_62830322的博客
04-28 314
那么一个素数p的贡献因该是，小于等于n/p的所有的数字的欧拉函数的和*2（除了1）对于一个gcd（a,b)=1,它等价于gcd(a*p,b*p)=p;通过线性筛处理出1-n所有的欧拉函数，再写一个前缀和数组即可做出本题。根据上面的性质则可以通过线性筛递推出1-n每个数字的欧拉函数。欧拉函数：给你一个数字p，表示1-p中与p互质的数的数量。考虑每一个质数p对答案的贡献，求出(a,b)的范围。利用线性筛去求快速求1-n每个数的欧拉函数模板。m时n*m的最小质因子，如果n是m的倍数时。
欧拉函数线性筛法详解
热门推荐
Lytning's Blog
04-24 1万+
该算法在可在线性时间内筛素数的同时求出所有数的欧拉函数。
线性筛prime/phi/miu/求逆元模板
weixin_34259159的博客
03-10 193
这绿题贼水...... 原理我不讲了，随便拿张草稿纸推一下就明白了。 1 #include <cstdio> 2 using namespace std; 3 const long long int N=100000020; 4 int su[N],ans,top; 5 bool vis[N]; 6 void shai(int b) 7 { 8...
数论——求 phi
我爱编程
09-01 1212
φ\varphiφ 1. φ\varphiφ的定义 φ(n)\varphi(n)φ(n): 欧拉函数，费马小定理的扩展，求的是在[1, n]中，有多少个正整数和 n 互质 费马小定理只能用于质数，欧拉函数可以用于任何数(逆元) 2. 求φ\varphiφ 暴力，利用φ\varphiφ的性质 #include <algorithm> #define gcd __gcd // 还没有学gcd怎么用，不准自己写 // 某些编译器可能不让用，就复制一下题解 #de
欧拉筛法（phi，d，prime）
weixin_33859844的博客
11-03 186
筛法求素数的核心就是让每个合数被它的最小质因子筛掉，那么剩下来的就是素数了。 于是在这个过程中我们可以顺便求出每个数的φ（）、d（）、e（）。 ϕ:小于等于该数的与它互质的数的个数(一个数与其自身互质) d:该数的正因数个数 e:该数最小质因数的个数 其中上述三个函数均为不完全积性函数（即当x、y互质时才有f(xy)=f(x)f(y)），因此在筛法筛这三个函数时要有分情况讨论。 ...
【线性筛】
weixin_34410662的博客
10-24 721
在这里提供三种线性筛的讲解,它们分别是:素数筛,欧拉筛和莫比乌斯筛。 ·筛法正确性的重要理论依据： 上述函数均为积性函数。积性函数的性质为:若f(x)是一个积性函数,那么对于任意素数a,b,满足f(ab)=f(a)*f(b) ·一些可爱的要点(有助于理解筛法原理)： ①欧拉筛和莫比乌斯筛是以素数筛为基础的。 ②三者在代码实现上几乎是同一框架。 ③欧拉函数和莫...
为什么线性筛欧拉函数i%prime[j]==0的时候phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]
lxp6164的博客
07-31 1024
转载自@ITAK http://blog.youkuaiyun.com/qingshui23/article/details/50969344 看贾志鹏线性筛的时候想起来的。 我有一个繁琐的证明- -。 证明ϕ(pm)=p×ϕ(m),p为素数，m∈Z. 设m=pα⋅m′,α,m′∈N,(pα,m′)=1.那么 ϕ(m)=ϕ(m′)⋅ϕ(pα).而 ϕ(pα)=(p−1)pα−1因此 ϕ(m
[HDU1787]GCD Again（根n求phi）
zyf2000
04-01 954
最低俗的交情被日夜的酒水浸泡着，越泡越大。
关于欧拉筛求phi的讨论
zyf2000
03-04 1139
我喜欢你，仅仅如此，喜欢而已。
【数论】线性筛与积性函数
sdfzchy的博客
07-25 925
【学习笔记】线性筛与欧拉函数\莫比乌斯函数\约数个数
线性筛法和欧拉筛法
最新发布
03-14
<think>好的，我现在要解决的问题是用户关于线性筛法和欧拉筛法的区别及实现的疑问。首先，我需要回忆一下这两种筛法的基本概念和原理，然后比较它们的异同点，接着看看它们的实现方式，最后可能需要分析各自的优缺点和应用场景。 首先，线性筛法和欧拉筛法都是用来筛选素数的算法，但用户提到可能存在区别。根据已有的引用资料，比如引用[3]提到线性筛法也叫欧拉筛，是在埃氏筛法的基础上优化而来，时间复杂度为O(n)。但用户的问题中提到两者的比较，这说明可能存在一些混淆或者细节上的不同。 根据引用[2]和[3]，埃氏筛法的问题在于会重复标记合数，而线性筛法则通过确保每个合数只被其最小质因数筛除来避免重复，从而将时间复杂度降为线性。引用[4]则提到欧拉筛法与线性筛法类似，核心思想是确保每个合数只被最小质因数筛除一次。看起来这里可能存在名称上的混淆，即线性筛法和欧拉筛法可能指的是同一种算法？或者是欧拉筛法是线性筛法的一种实现，同时还能计算欧拉函数？ 需要进一步确认：是否在某些资料中，线性筛法和欧拉筛法被视为同一种算法，而在其他资料中，欧拉筛法特指结合了计算欧拉函数的筛法？或者可能用户提到的欧拉筛法其实是线性筛法的一个别称？ 查看引用[3]的标题：“狂热算法篇”提到埃氏筛与线性筛（欧拉筛），这里括号里说明线性筛即欧拉筛。引用[2]中提到欧拉筛法代码，而引用[4]则讨论了线性筛法与欧拉函数的关系，可能欧拉筛法在实现线性筛的同时，还能计算每个数的欧拉函数值？ 因此可能的区别在于，线性筛法是一种通用的算法，用于高效筛选素数，而欧拉筛法可能是在线性筛法的基础上，进一步用于计算欧拉函数，或者两者是同一算法的不同名称。需要更仔细地分析引用内容。 引用[1]中的总结提到：欧拉筛法与线性筛法类似，核心思想是确保每个合数只被其最小质因数筛除一次。这可能暗示两者是同一算法，只是名称不同。但引用[4]的标题是“线性筛法 与 欧拉函数”，其中讨论了用线性筛法计算欧拉函数的方法。因此可能欧拉筛法是指在线性筛法的过程中同时计算欧拉函数，而普通的线性筛法仅用于筛选素数？ 或者可能，欧拉筛法和线性筛法其实是同一算法的两种不同称呼，不同来源可能有不同的命名习惯。例如，有些资料称其为线性筛法，有些则称欧拉筛法，而它们的基本原理相同。这种情况下，用户的问题可能源于对名称的混淆，而实际算法并无区别。 但用户的问题明确问的是两者的区别，所以必须找到它们的不同点。根据现有引用，可能需要指出，欧拉筛法是在线性筛法的基础上，进一步扩展用于计算欧拉函数，因此它们的实现可能有所不同，特别是在处理数论函数时。 例如，引用[4]中的代码展示了如何用线性筛法来计算欧拉函数，这可能就是欧拉筛法的一个应用。也就是说，线性筛法是基础算法，而欧拉筛法可能特指在线性筛法过程中同时计算欧拉函数或其他数论函数的方法。因此，它们的核心筛选机制相同，但欧拉筛法在实现时加入了额外的步骤来计算欧拉函数。 总结可能的区别： 1. 核心算法相同，都是线性时间复杂度，确保每个合数被最小质因数筛除一次。 2. 欧拉筛法可能特指在筛法的过程中计算欧拉函数，而线性筛法一般指仅筛选素数。 3. 因此，实现上，欧拉筛法在代码中会有额外的变量或步骤来处理欧拉函数的计算，而线性筛法则仅维护素数列表和最小质因数信息。 接下来需要确认这些信息是否正确。例如，查看引用[4]中的代码，确实是在线性筛法的框架内，增加了计算欧拉函数的部分，其中phi数组保存每个数的欧拉函数值，处理质数、合数时分别计算phi值。而普通的线性筛法可能不需要这些额外的步骤。 因此，两者的区别可能在于功能扩展：线性筛法用于高效筛选素数，而欧拉筛法则在同样的筛法过程中计算欧拉函数，或者在处理时有不同的操作，但筛法机制本身是相同的。 因此，回答用户的问题时，需要说明： - 线性筛法和欧拉筛法通常指的是同一种筛法机制，确保每个合数被最小质因数筛除，时间复杂度O(n)。 - 但在某些上下文中，欧拉筛法可能特指结合了欧拉函数计算的线性筛法实现，即在筛选素数的同时计算每个数的欧拉函数值。 - 因此，区别主要在于是否扩展了功能，而基础筛法过程是一致的。 接下来需要给出两者的实现示例，比较它们的代码差异，展示欧拉筛法如何计算欧拉函数，而线性筛法仅筛选素数。 例如，线性筛法的代码可能如下： ```python def linear_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i*p] = False if i % p == 0: break return primes ``` 而欧拉筛法在计算欧拉函数的实现可能如下： ```python def euler_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] phi = [0] * (n+1) phi[1] = 1 for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) phi[i] = i - 1 for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i*p] = False if i % p == 0: phi[i*p] = phi[i] * p break else: phi[i*p] = phi[i] * (p - 1) return primes, phi ``` 这样，欧拉筛法在过程中维护了phi数组，用于存储每个数的欧拉函数值。这说明欧拉筛法不仅筛选素数，还能计算欧拉函数，而线性筛法则专注于素数筛选。因此，两者的区别在于功能扩展，而非基础算法机制。 综上，用户的问题需要明确：线性筛法和欧拉筛法在核心机制上是相同的，但欧拉筛法可能用于指代那些在筛的过程中计算数论函数（如欧拉函数）的实现。因此，它们的区别在于应用范围和功能，而非基础算法步骤的不同。</think>### 线性筛法 vs 欧拉筛法：算法实现与比较 #### 1. 核心思想与时间复杂度 - **线性筛法**和**欧拉筛法**的核心思想相同：确保每个合数仅被其**最小质因数**筛除一次，时间复杂度均为 $O(n)$[^1][^3]。 - 两者的区别主要体现在**功能扩展**上： - 线性筛法专注于**高效筛选素数**。 - 欧拉筛法则在筛素数的同时，可**计算数论函数**（如欧拉函数 $\varphi(n)$）[^4]。 --- #### 2. 算法实现对比 ##### 2.1 线性筛法（仅筛选素数） ```python def linear_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] # 存储素数 for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) # 用当前数i与已筛出的素数相乘标记合数 for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i * p] = False if i % p == 0: # 保证最小质因数筛除 break return primes ``` - **关键步骤**：当 `i % p == 0` 时终止内层循环，避免重复标记[^2]。 ##### 2.2 欧拉筛法（同时计算欧拉函数） ```python def euler_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] # 存储素数 phi = [0] * (n+1) # 存储欧拉函数值 phi[1] = 1 for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) phi[i] = i - 1 # 素数的欧拉函数值为i-1 # 标记合数并更新phi值 for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i * p] = False if i % p == 0: phi[i * p] = phi[i] * p # i与p不互质时的公式 break else: phi[i * p] = phi[i] * (p - 1) # i与p互质时的公式 return primes, phi ``` - **关键扩展**：根据 $i$ 与质数 $p$ 的关系，利用递推公式计算 $\varphi(i \cdot p)$[^4]。 --- #### 3. 性能与应用场景 | **特性** | 线性筛法 | 欧拉筛法 | |----------------|------------------------|--------------------------| | **主要功能** | 筛选素数 | 筛选素数 + 计算欧拉函数 | | **空间复杂度** | $O(n)$ | $O(n)$（需额外存储phi数组）| | **适用场景** | 仅需素数列表 | 需同时处理数论函数问题 | --- #### 4. 关键区别总结 1. **功能差异**： - 线性筛法仅生成素数。 - 欧拉筛法可在线性筛法框架内扩展计算**欧拉函数**或其他数论函数。 2. **实现复杂度**： - 欧拉筛法需维护额外变量（如 `phi` 数组），逻辑略复杂。 ---
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值