第二章 一维随机变量及分布

第二章 一维随机变量及分布

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一、随机变量、分布函数及性质

1. 随机变量
2. 分布函数
3. 分布函数的性质

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二、离散型随机变量及分布

1. 离散型随机变量的定义

若随机变量 $X$ 的可能取值为有限个或可列个，称 $X$ 为离散型随机变量。

2. 离散型随机变量的分布率

称

$$P\{X = x_i\} = p_{i(i = 1, 2, \cdots)}$$
或

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	$\cdots$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$	$\cdots$

为离散型随机变量 $X$ 的分布律。

3. 离散型随机变量的分布函数

$$F(x) = P\{ X \leqslant x \} = \sum_{X_i \leqslant x} p_i$$

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三、连续型随机变量及分布

1. 连续型随机变量的定义

设 $X$ 为随机变量，若 $X$ 的分布函数 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(x)dx$（其中$f(x)$ 为非负可积函数），称 $X$ 为连续型随机变量，$f(x)$ 为连续型随机变量的密度函数。

2. 密度函数与分布函数的性质

1. $f(x) \geqslant 0$；
2. $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$；
3. $F(x)$ 为连续型随机变量的密度函数；

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四、常见一维随机变量及分布

（一）离散型

1. 二项分布$X \sim B(n, p)$
   

   $$P\{X = k\} = C_n^p p^k (1 - p)^{n - k}, k = 0, 1, \cdots, n$$

2. Poisson 分布$X \sim Poisson(k)$
   

   $$P\{X = k\} = \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{-\lambda}$$

3. 几何分布$X \sim G(x)$
   

   $$P\{X = k\} = (1 - p)^{k-1} p, k = 1, 2, \cdots$$

4. 超几何分布 $X \sim H(N, M, n)$
   

   $$P\{X = m\} = \frac{C_M^m C_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}$$
   其中 $0 \leqslant m \leqslant \min {n, M}$

（二）连续型

1. 均匀分布 $X \sim U(a, b)$
   $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & ,a < x < b \\ 0 & ,\text{other} \end{cases}$$
   $$F(x) = \begin{cases} 0 &, x < 0 \\ \frac{x-a}{x-b} &, a \leqslant x \leqslant b \\ 1 &, x \geqslant b \end{cases}$$
2. 指数分布 $X \sim E(\lambda)$
   $$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} &, x \geqslant 0 \\ 0 &, x \leqslant 0 \end{cases}$$
   $$F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x} &, x \geqslant 0 \\ 0 &, x < 0 \end{cases}$$
3. 正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$
   $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} \exp^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} , -\infty < x < +\infty$$
   若 $\mu = 0, \sigma = 1$，则称 $X$ 服从标准正态分布
   $$\begin{gather*} \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \\ \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)dt \end{gather*}$$

注解

1. 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $F(x) = \Phi(\frac{x - \mu}{\sigma})$；
2. 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $\frac{x - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$；

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五、一维随机变量的函数分布

设 $X$ 为随机变量，若 $Y = \varphi(X)$，称 $Y$ 为随机变量 $X$ 的函数，求 $Y$ 的分布通常分为如下几种情形：

1. $X$ 为离散型随机变量

$$P\{Y = y_i\} = P\{\varphi(X) = y_i\} = \sum_{\varphi(x_i)=y_i} P{X = x_i}$$

2. $X$ 为连续型随机变量

情形一：$Y$ 为离散型，先求出 $Y$ 的可能求值，再通过 $X$ 的概率分布求出 $Y$ 的可能取值对应的概率，即求出 $Y$ 的分布律。

情形二：$Y$ 为连续型随机变量，求 $Y$ 的分布通常方法有：

定义法：

$$F_Y(y) = P\{Y \leqslant y\} = P\{\varphi(X) \leqslant y\} = \int_{\varphi(x) \leqslant y} f_X(x) dx$$

其密度函数为

$$f_Y(y) = F'_Y(y)$$

公式法：

$$f_Y(y) = \begin{cases} f_X[h(y)] | h'(y) | &, \alpha < y < \beta \\ 0 & , \text{other} \end{cases}$$