【概率论第二章:一维随机变量及其分布】

概率论

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以下是本篇内容介绍
概率的基础概念以及常用公式，基本模型。
重点:

• 随机变量分布函数
• 常见离散型随机变量分布函数(0-1分布，二项分布，泊松分布…)
• 连续随机变量，概率密度函数
• 常见连续性随机变量分布函数
• 离散型连续性函数分布

1. 随机变量及其分布函数

1.1 定义

• 随机变量：在样本空间上的实单值函数，记为
  $$X=X(\omega )$$
  其中，$\omega$ 为样本点。随机变量实际上就是一个函数。
  抽象量化复杂的随机事件， 引入高等数学的知识来解决实际问题。

• 分布函数：记函数
  F ( x ) = P { X ≤ x } , ∀ ( − ∞ < x < ∞ ) F(x) = P\{X \leq x\},\forall ({-\infty <x<\infty}) F(x)=P{ X≤x},∀(−∞<x<∞)
  为随机变量 $X$ 的分布函数。
  分布函数本质是概率， 因此满足下列概率的性质。

1.2 分布函数的性质

1. 取值范围：
   $$0\le F(x)\le 1$$

2. 边界条件：
   $$F(-\infty )=0,F(+\infty )=1$$

3. 单调性：
   如果 $x_1<x_2$，则
   $$F(x_1)\le F(x_2)$$

4. 右连续性：
   $$F(x^{+})=F(x)$$

5. 概率计算：
   对任意 $x_1<x_2$，有
   P { x 1 < X ≤ x 2 } = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) P\{x_1 < X \leq x_2\} = F(x_2) - F(x_1) P{ x1​<X≤x2​}=F(x2​)−F(x1​)

6. 点概率：
   对任意 $x$，有
   P { X = x } = F ( x ) − F ( x − ) P\{X = x\} = F(x) - F(x^-) P{ X=x}=F(x)−F(x−)

7. 分布函数的充分性：
   满足以上条件的函数才能成为一个有效的分布函数。
   1~4条件判定是否可以成为分布函数。

8. 基本关系：
   P { X ≤ x } = F ( x ) , P { X < x } = F ( x − ) P\{X \leq x\} = F(x), \quad P\{X < x\} = F(x^-) P{ X≤x}=F(x),P{ X<x}=F(x−)

2. 随机变量的类型

随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量两大类。

2.1 离散型随机变量

2.1.1 定义

离散型随机变量是指其可能取值为有限个或可列无限个离散点的随机变量。设离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$，则 $X$ 取各可能值的概率为
P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , … P\{X = x_k\} = p_k, \quad k = 1, 2, \dots P{ X=xk​}=pk​,k=1,2,…
称为离散型随机变量的概率分布或分布律。

2.1.2 分布律的表示

分布律可以通过表格形式表示：

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	$\cdots$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$	$\cdots$

满足如下性质：
$$p_k\ge 0,k=1,2,\dots$$
$$\sum _{k=1}^{\infty }{p}_k=1$$

2.1.3 常用离散分布

1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：

   • 定义：
     $$X\sim \text{Bernoulli}(p)$$
   • 概率质量函数：
     P { X = 1 } = p , P { X = 0 } = 1 − p P\{X = 1\} = p, \quad P\{X = 0\} = 1 - p P{ X=1}