【概率论与数理统计】第二章：随机变量及其分布

本文主要讨论：
随机变量的定义：样本空间的表示
离线型的随机变量：概率分布
连续型随机变量：概率密度与概率分布

一. 随机变量：随机变量与样本对应起来

随机变量的定义

当样本空间S的元素不是一个数时，人们对于S（样本空间）就难以描述和研究. 现在来讨论如何引入一个法则， 将随机试验的每一个结果，即将S的每个元素e与实数x对应起来，从而引入了 随机变量的概念。

 

• 实值单值函数值对应样本点，函数的定义域是样本空间S，值域是单值函数。

再看一个二维样本空间的例子，

 

 

二. 离散型随机变量及其分布律

1. 离散型随机变量

 

2. 概率分布

性质

 

分布函数

 

3. 三种常见离散型分布

1. 两点分布

 

2. 伯努利试验及其二项分布

 
进行n重伯努利实验的概率分布：二项分布

 

3. 泊松分布

 

三. 分布函数

对于连续函数研究分布函数的意义

• 对于非离散型随机变量X ，由于其可能取的值不能一一列举出来，因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。
• 另外，我们通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于0。
• 再者，在实际中，对于这样的随机变量，例如误差e、元件的寿命T 等，我们只会考虑误差落在某个区间内的概率，寿命T 大于某个数的概率.

因而我们转而去研究随机变 量所取的值落在一个区间$(x_1,x_2]$的概率:$P{x}_1<X<=X_2$.但由于

P { x 1 < X < = X 2 } = P { X < = X 2 } − P { X < = X 1 } P\{x_1<X<=X_2\}=P\{X<=X_2\} - P\{X<=X_1\} P{x1​<X<=X2​}=P{X<=X2​}−P{X<=X1​}.

 

1. 分布函数:概率分布函数

 

2. 分布函数的性质

 

四. 连续型随机变量以及概率密度

1. 定义

f(x)不一定是连续函数。

 

2. 性质

 

3. 常用概率分布函数

3.1. 均匀分布

 

3.2. 指数分布

 

3.3. 正态分布

a. 定义

 

b. 性质

 
 

五. 随机变量函数的分布

本节我们讨论，由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数Y = g(X)的概率分布。

 

定理：