Unscented transform

unscented transform 是一种数学方法，它用来计算用有限的统计数据来刻画的probability distribution通过非线性函数转换之后的结果的估计。它最常见的应用是在nonlinear extensions of the Kalman filter中用来计算mean and covariance estimates。
很多filtering and control methods用mean vector and associated error covariance matrix来描述一个系统的状态估计。例如估计一个目标的位置，用到位置的平均值m=[x,y]和对应的2×2的covariance 矩阵M，来刻画不确定性。如果M为0表示目标的位置被[x,y]精确的表示，毫无错误。
mean and covariance仅仅描述了待估计概率分布的前2阶矩，在估计运动目标的位置的例子中，使用mean and covariance是很方便的，因为在线性变换中(假设为T)，mean and covariance被转换为 Tm 和 TMT^{T} .然而在非线性变换中，这个性质是不成立的。因为结果依赖于所有的矩，不仅仅是前2阶矩。
尽管covariance matrix经常被当作期望平方误差，实际中covariance matrix往往作为实际均方误差的上界，这就保证了M减去实际的均方误差（which is not usually known ）后，是一个半正定或者正定矩阵。目的是防止滤波或者控制算法给予和当前均值准确度不匹配的过大的权重。
返回之前目标位置估计的例子，如果covariance 为0，那么根据非线性函数（模型)f，很容易得到目标运动之后的位置均值： f(x,y) 。当covariance不为0时mean将不再是 f(x,y) ，仅仅依靠先验的mean and covariance，将不能得到经过非线性变换的概率分布的均值。经过非线性变换的概率分布均值只能估计来获得。最早的估计方法，对非线性函数在工作点处利用Jacobian matrix进行线性化来得到mean and covariance，这也是EKF的基础。虽然在有些场景下效果不佳，但是在长达数十年的时间没有可以替代的方法。
在1994Jeffrey Uhlmann指出EKF中包含了系统的非线性模型和部分概率分布信息，但是却去近似已经知道的 f(x,y) ，而不是还不能确定的转换之后的概率分布。他提出了一个更好的方法：unscented transform，这个方法直接利用非线性模型来估计变换之后的概率分布。在他的博士论文中他给出了提出这个方法的动机，unscented transform被第一次被引入：
Consider the following intuition:With a fixed number of parameters it should be easier to approximate a given distribution than it is to approximate an arbitrary nonlinear function/transformation. Following this intuition, the goal is to find a parameterization that captures the mean and covariance information while at the same time permitting the direct propagation of the information through an arbitrary set of nonlinear equations. This can be accomplished by generating a discrete distribution having the same first and second (and possibly higher) moments, where each point in the discrete approximation can be directly transformed. The mean and covariance of the transformed ensemble can then be computed as the estimate of the nonlinear transformation of the original distribution. More generally, the application of a given nonlinear transformation to a discrete distribution of points, computed so as to capture a set of known statistics of an unknown distribution, is referred to as anunscented transformation.
也就是说给定的mean and covariance信息能够被准确的encode到一组点集上（sigma points），这组点集组成的分立的概率分布的mean and covariance具有和给定的mean and covariance相同的值。也就是概率分布可以通过非线性函数准确的传递。这个方法和EKF比较起来优势在于没有对非线性模型进行近似，可以用于任何非线性模型（不要求可微，甚至连续），避免了Jacobian matrix矩阵的计算。